Un aiutino veloce veloce

[axl_1986]

so che quello che sto per chiedervi è per molti una cosa ovvia.. ma io proprio nn lo so

in questo periodo ho a che fare con le serie, e mi ritrovo a dover risolvere limiti con operazioni del tipo:

- infinito elevato un numero
- un numero elevato infinito
- un numero elevato infinito + 1

non è che mi direste quanto fanno??

grazie..

[Domè891]

bhe, molto dipende da che numeri consideri $(01$...
Per infinito, idendi $+oo$ oppure $-oo$??

[axl_1986]

bè diciamo che sarei interessato a tutte le evenienze.. quindi sia con numeri compresi tra 0 ed 1.. che con quelli maggiori di uno.. e poi sia con - che con + infinito..

[Sk_Anonymous]

allora vediamo i vari casi
$(+oo)^a$ con $ainRR^^a>0$ vale $+oo$, $(+oo)^a$ con $ainRR^^a<0$ vale $0$, $(+oo)^a$ con $a=0$ è una forma indeterminata
per il $-oo$ invece c'è il problema della condizione di esistenza se $a!inNN$, comunque vale la regola dei segni quindi ad esempio $-oo^2=+oo$

Se $0<=a<1$ allora $a^(+oo)=0$, mentre $a^(-oo)=+oo$
se $a>1$ allora $a^(-oo)=0$, mentre $a^(+oo)=+oo$
se $a=1$ allora $1^(+-oo)$ è una forma indeterminata
se $a<0$ allora $a^(+-oo)$ non è definita

infine $+-oo+1=+-oo$

[axl_1986]

ok prima di tutto grazie mille per le risposte esaudientissimissime! .. ora però se non vi dispiace vorrei sottoporvi una serie già svolta che mi sta creando problemi..


$ sum_(i=1)^oo= (n^2)/2^n $

la serie è a termini positivi (lo si deduce dal fatto che nn ci sono - in giro giusto??) quindi applico il criterio del rapporto:

$ lim_{n->oo}(n+1)^2/(2^(n+1))((2^n)/(n^2)) = lim_{n->oo}(n+1)^2/(n^2)((1)/(2)) $

io non capisco come dal primo passaggio si arrivi al secondo.. praticamente si semplifica $ 2^n $ con $ 2^(n+1) $ ?? e viene lasciato il 2 a denominatore? mi spiegate il passaggio passo passo??

poi praticamente dal secondo passaggio si arriva direttamente alla soluzione che sarebbè $ (1/2) < 1 $ come si arriva a sta soluzione?? nn ci capisco moltissimissimo

[Otherguy2k]

Allora provo a spiegartelo io praticamente credo che semplifica il $2^n$ a numeratore col $2^n2$ a denominatore, così facendo ti rimane solo $2$ a denominatore poi per calcolare il limite fai il rapporto dei coefficenti dei termini dello stesso grado cioè:
$(n+1)^2/(2n^2)=(n^2+2n+1)/(2n^2)$
E l'ultima quantità tende a 1/2 per $n->oo$

[Camillo]

"axl_1986":ok prima di tutto grazie mille per le risposte esaudientissimissime! .. ora però se non vi dispiace vorrei sottoporvi una serie già svolta che mi sta creando problemi..


$ sum_(i=1)^oo= (n^2)/2^n $

la serie è a termini positivi (lo si deduce dal fatto che nn ci sono - in giro giusto??) quindi applico il criterio del rapporto:

$ lim_{n->oo}(n+1)^2/(2^(n+1))((2^n)/(n^2)) = lim_{n->oo}(n+1)^2/(n^2)((1)/(2)) $

io non capisco come dal primo passaggio si arrivi al secondo.. praticamente si semplifica $ 2^n $ con $ 2^(n+1) $ ?? e viene lasciato il 2 a denominatore? mi spiegate il passaggio passo passo??

poi praticamente dal secondo passaggio si arriva direttamente alla soluzione che sarebbè $ (1/2) < 1 $ come si arriva a sta soluzione?? nn ci capisco moltissimissimo

Per il primo passaggio è esattamente come dici : $2^n/2^(n+1)=1/2$ , il resto è inalterato.
Per il secondo passaggio ti resta da calcolare il $lim_(n rarr +oo) (1/2)*(n+1)^2/n^2 = (1/2) (n^2+2n+1)/n^2 =1/2$ in quanto quando hai da valutare un limite per $n rarr +oo $ di un rapporto di polinomi dello stesso grado , basta fare il rapporto tra i relativi coefficienti della potenza di grado massimo, in questo caso viene $1 $ e quindi alla fine $1/2$.

Edit corretto errore di battitura era $ 2^2 $ errato mentre corretto è $ 2^n$ .

[axl_1986]

ma dal punto di vista matematico perchè $ 2^n/(2^(n+1)) = 1/2 $? praticamente sarebbe come semplificare le due n quindi a numeratore rimate $ 2^0 $ e a denominatore $2 ^ (+1)$ ?? cmq grazie per le spiegazioni.. ora mi è tutto molto chiaro..[/quote]

[Domè891]

"axl_1986":ma dal punto di vista matematico perchè $ 2^n/(2^(n+1)) = 1/2 $? praticamente sarebbe come semplificare le due n quindi a numeratore rimate $ 2^0 $ e a denominatore $2 ^ (+1)$ ?? cmq grazie per le spiegazioni.. ora mi è tutto molto chiaro..

Perche tu la puoi vedere scritta come $2^n/(2^n*2)$ semplifichi sotto e sopra e ti rimane $1/2$....
ciao

[Camillo]

Il rapporto tra 2 potenze con la stessa base ( 2 in questo caso ) è uguale a una potenza con la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti ( $n-(n+1))= -1 $ ma $2^(-1) = 1/2$.

[axl_1986]

ok grazie mille nel caso ho bisogno di altre info vi farò sapere.. siete mitici

[axl_1986]

ragazzi vi posto questa serie che mi sta veramente facendo diventare scemo..

$sum_(n=1)^oo=(n^n/n!)x^n$

io ho provato ad applicare il criterio del rapporto.. ma mi sn mezzo incasinato.. come la devo trattare sta serie??