Un aiutino per lo studio di funz
Ho questa funzione x+log(2-1/abs(x))
il campo di esistenza è x<-1/2, x>1/2
Se nel caso x>1/2 quando vado a calcolare la positività, viene x>-log(2-1/x), nel secono caso, cioè per x<-1/2 cosa deve venire. e poi come le studio queste 2 disequazioni?
il campo di esistenza è x<-1/2, x>1/2
Se nel caso x>1/2 quando vado a calcolare la positività, viene x>-log(2-1/x), nel secono caso, cioè per x<-1/2 cosa deve venire. e poi come le studio queste 2 disequazioni?
Risposte
Il dominio è corretto.Per trovare dove la funzione ha gli zeri
non vedo altro modo che tracciare il grafico, anche solo approssimato delle due funzioni :
y1= -x
y2=ln((2x-1)/x)
nel caso x > 1/2 e vedrai che le due funzioni si intersecano per un valore di x=alfa compreso tra 1/2 e 1.
Sarà poi : x+ln((2x-1)/x) > 0 per x > alfa .
Analogamente puoi fare per x < -1/2 studiando le 2 funzioni:
y1 = -x
y2 = (2x+1)/x)
e vedrai che le due funzioni non si intersecano mai ed è sempre :
-x > ln((2x+1)/x) e quindi la funzione x+ln((2x+1)/x) è sempre < 0.
Camillo
non vedo altro modo che tracciare il grafico, anche solo approssimato delle due funzioni :
y1= -x
y2=ln((2x-1)/x)
nel caso x > 1/2 e vedrai che le due funzioni si intersecano per un valore di x=alfa compreso tra 1/2 e 1.
Sarà poi : x+ln((2x-1)/x) > 0 per x > alfa .
Analogamente puoi fare per x < -1/2 studiando le 2 funzioni:
y1 = -x
y2 = (2x+1)/x)
e vedrai che le due funzioni non si intersecano mai ed è sempre :
-x > ln((2x+1)/x) e quindi la funzione x+ln((2x+1)/x) è sempre < 0.
Camillo
non dovrebbero comparire dei meno all'interno della parentesi (2x +o- 1)?
quale è la regola di un valore assoluto? X>0, si lascia tutto come è, per x<0 si cambia il segno della disequazione e di un termine, giusto?
quale è la regola di un valore assoluto? X>0, si lascia tutto come è, per x<0 si cambia il segno della disequazione e di un termine, giusto?
Ho corretto il caso x> 1/2 in cui avevo sbagliato a scrivere , la funzione vale :
x+ln((2x-1)/x).
La definizione di :abs x è :
x se x >= 0
-x se x <0
Più in generale ad es:
abs(x-2) =
x-2 per x>=2
2-x per x <= 2
e quindi nel caso veramente più generale si ha :
abs(f(x)) :
f(x) se f(x) >=0
-f(x) se f(x) < 0.
Quindi abs(x^2-x) vale :
x^2-x per x >= 1 e per x <= 0
x-x^2 per 0 < x < 1.
Camillo
x+ln((2x-1)/x).
La definizione di :abs x è :
x se x >= 0
-x se x <0
Più in generale ad es:
abs(x-2) =
x-2 per x>=2
2-x per x <= 2
e quindi nel caso veramente più generale si ha :
abs(f(x)) :
f(x) se f(x) >=0
-f(x) se f(x) < 0.
Quindi abs(x^2-x) vale :
x^2-x per x >= 1 e per x <= 0
x-x^2 per 0 < x < 1.
Camillo
ponendo il caso abs(x^2-x)>0 ottengo
per x>0 (x^2-x)>0
per x<0 (x-x^2)<0 o (x-x^2)>0?
per x>0 (x^2-x)>0
per x<0 (x-x^2)<0 o (x-x^2)>0?
abs(x^2-x) è sempre maggiore(o uguale ) a zero , è proprio l'effetto del modulo !!!!
Il punto importante è usare bene la definizione di modulo :
l'espressione : abs(x^2-x) ha due rappresentazioni analitiche differenti a seconda che si considerino i valori di x per cui x^2-x è > 0 oppure quelli per cui è x^2-x < 0 .
Quindi prima risolvo la disequazione ; x^2-x > 0 , cioè :
x(x-1) > 0 che è soddisfatta per : x < 0 e anche per x > 1.
Allora quando x è < 0 oppure > 1 l'espressione abs(x^2-x) vale semplicemente : x^2-x.
Quando invece x è compreso fra 0 e 1 [ e allora x^2-x assume valori negativi] l'effetto del modulo è quello di cambiare il segno all'espressione; quindi per x tra 0 e 1 l'espressione abs(x^2-x) diventa : -x^2+x.
abs(x^2-x) = x^2-x se x < 0 e x > 1
abs(x^2-x) = -x^2+x se 0 < x <1
Se disegni la funzione : y = abs(x^2-x) sarà sempre positiva , nulla nei punti x=0 e x=1.
Camillo
Il punto importante è usare bene la definizione di modulo :
l'espressione : abs(x^2-x) ha due rappresentazioni analitiche differenti a seconda che si considerino i valori di x per cui x^2-x è > 0 oppure quelli per cui è x^2-x < 0 .
Quindi prima risolvo la disequazione ; x^2-x > 0 , cioè :
x(x-1) > 0 che è soddisfatta per : x < 0 e anche per x > 1.
Allora quando x è < 0 oppure > 1 l'espressione abs(x^2-x) vale semplicemente : x^2-x.
Quando invece x è compreso fra 0 e 1 [ e allora x^2-x assume valori negativi] l'effetto del modulo è quello di cambiare il segno all'espressione; quindi per x tra 0 e 1 l'espressione abs(x^2-x) diventa : -x^2+x.
abs(x^2-x) = x^2-x se x < 0 e x > 1
abs(x^2-x) = -x^2+x se 0 < x <1
Se disegni la funzione : y = abs(x^2-x) sarà sempre positiva , nulla nei punti x=0 e x=1.
Camillo
Ecco il grafico
Camillo
Camillo
ok daccordo:
ritornando alla nostra f(x) iniziale ed in particolar modo alle derivate delle due funzioni che otteniamo: per x>1/2 la derivata mi da x<0 x>1/2; per l'altra derivata ottengo x>-1/2. Facendo il limite della derivata corrispondente per x sinistro ed x destro (considerando x una volta 1/2 ed una volta -1/2) ottengo che sono 2 punti derivabili, giusto?
ritornando alla nostra f(x) iniziale ed in particolar modo alle derivate delle due funzioni che otteniamo: per x>1/2 la derivata mi da x<0 x>1/2; per l'altra derivata ottengo x>-1/2. Facendo il limite della derivata corrispondente per x sinistro ed x destro (considerando x una volta 1/2 ed una volta -1/2) ottengo che sono 2 punti derivabili, giusto?
Non mi è tanto chiaro quello che scrivi .
Comunque per :
x>1/2 la funzione è : y= x+ln((2x-1)/x) e la sua derivata vale :
(2x^2-x+1)/(2x-1) e quindi il denominatore è sempre > 0 perche x>1/2; il numeratore pure è sempre positivo perchè il discriminante dell'equazione del numeratore è < 0 .
conclusione : la funzione è sempre crescente.
Caso x < -1/2.
la funzione è : y = x +ln((2x+1)/x) e la derivata vale :
(2x^2+x-1)/(x(2x+1) il segno del denominatore è sempre positivo( per x <-1/2 perchè x è negativo e pure negativo è (2x+1), quindi il prodotto è positivo).
Resta da esaminare il segno del numeratore : si annulla per x=-1 e x= 1/2( ma 1/2 è al di fuori del nostro insieme , qui si considera x <-1/2).
la derivata prima sarà allora negativa x<-1 e positiva per x > -1 ; quindi funzione crescente per x<-1 e funzione decrescente per x > -1 : in conclusione x=-1 è punto di max relativo ; non esiste max assoluto perchè la funzione tende a + inf.
Camillo
Comunque per :
x>1/2 la funzione è : y= x+ln((2x-1)/x) e la sua derivata vale :
(2x^2-x+1)/(2x-1) e quindi il denominatore è sempre > 0 perche x>1/2; il numeratore pure è sempre positivo perchè il discriminante dell'equazione del numeratore è < 0 .
conclusione : la funzione è sempre crescente.
Caso x < -1/2.
la funzione è : y = x +ln((2x+1)/x) e la derivata vale :
(2x^2+x-1)/(x(2x+1) il segno del denominatore è sempre positivo( per x <-1/2 perchè x è negativo e pure negativo è (2x+1), quindi il prodotto è positivo).
Resta da esaminare il segno del numeratore : si annulla per x=-1 e x= 1/2( ma 1/2 è al di fuori del nostro insieme , qui si considera x <-1/2).
la derivata prima sarà allora negativa x<-1 e positiva per x > -1 ; quindi funzione crescente per x<-1 e funzione decrescente per x > -1 : in conclusione x=-1 è punto di max relativo ; non esiste max assoluto perchè la funzione tende a + inf.
Camillo
la seconda derivata MI VIENE 2X/(2X+1)
No , non è corretta, confermo la mia versione.
Camillo
Camillo
Ecco il grafico della funzione
Camillo
Camillo
ma quando derivi la f(x) per x<-1/2, fai la derivata di x+log(2+(1/x))?
altra domanda che riguarda il valore assoluto: quando per esempio si ha una disequazione fratta in valore assoluto: abs((x+2)/(x-1))
come vengono i 2 casi?
come vengono i 2 casi?
Risposta affermativa alla prima domanda.
Se hai y = abs((x+2)/(x-1))
devi vedere dove : (x+2)/(x-1) è > 0 e questo avviene per x<-2 e per x > 1; quindi :
abs((x+2)/(x-1) = (x+2)/(x-1) per x < -2 e per x > 1, mentre :
abs((x+2)/(x-1)) = - (x+2)/(x-1) per -2 < x < 1.
Camillo
Se hai y = abs((x+2)/(x-1))
devi vedere dove : (x+2)/(x-1) è > 0 e questo avviene per x<-2 e per x > 1; quindi :
abs((x+2)/(x-1) = (x+2)/(x-1) per x < -2 e per x > 1, mentre :
abs((x+2)/(x-1)) = - (x+2)/(x-1) per -2 < x < 1.
Camillo
ok ci troviamo per la seconda risposta.
per la prima invece (la derivata) no: derivando mi viene: 1+[1/(2+(1/x))]*(-1/x)
giusto?
per la prima invece (la derivata) no: derivando mi viene: 1+[1/(2+(1/x))]*(-1/x)
giusto?
Attenzione la derivata di 1/x è -1/x^2 e se poi fai bene i conti arrivi al mio stesso risultato.
Camillo
Camillo
ecco , ho capito
grazie
grazie
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