Ultimi dubbi sommabilità funzioni e integrali impropri .

[HelpThermoo]

Ciao a tutti xD
Volevo riportarvi un paio di esercizi che ho incontrato su cui ho ancora dei dubbi .

Il primo l'ho trovato su questo forum ,e la proposta di svolgimento non mi ha convinto al massimo , quindi ve lo ripropongo .

$ int_(2)^(+oo) [arctg(x) - pi/2]/[sqrtx *log(x)] dx $

allora io avrei detto che non è sommabile nell'intervallo richiesto ...questo perchè :

$ int_(2)^(+oo) [arctg(x) - pi/2]/[sqrtx *log(x)] dx = int_(2)^(+oo) (arctg(x))/[sqrtx*log(x)] dx -int_(2)^(+oo) (pi/2)/[sqrt(x)*log(x)] dx $


Ora il primo integrale , per x che tende a + infinito , + asintotico a :

$ (pi/2)/[sqrt(x)*log(x)] $

adesso io sono andato a vedere la tabella degli integrali impropri notevoli su internet , ve ne posto una tra le tante ;
http://www.****.it/lezioni/analisi-m ... ntali.html

se uno va a guardare il caso 4 , questo è praticamente uguale .

e in tal caso l'esponente di x dovrebbe essere > 1 ; ma essendo 1/2 concludo che diverge .
e ugualmente l'altro .
Secondo voi è giusto? Perchè ho visto anche un tentativo di risoluzione basato sugli ordini di infinitesimo e infinito ...però non mi ha convinto .


Il secondo invece è proprio un "Mostro" , spero abbiate idee .
Devo studiare la convergenza dell'integrale al variare del parametro "a" e calcolare , se esiste , il valore dell'integrale in a=0 .

$ int_(-oo)^(+oo) (x +e)e^[|x|(a -e)] dx $


Devo dire che mi ha spiazzato ...
sicuramente si può spezzare in due , (-oo ; 0 ) e (0;+oo)
ma anche così boh...nel primo intervallo il modulo si toglierebbe e sarebbe $ -x $
nel secondo invece $ x $
ma non riesco ad applicare nessuno dei criteri che ho studiato..


Grazie in anticipo...
spero possiate colmare i miei dubbi

[Noisemaker]

Per il primo integrale non ci siamo, in quanto per come lo hai scomposto tu, ti sei ritrovato una forma indeterminata.
Ricordando invece che, se $x\ge0$
\[\arctan\frac{1}{x}+\arctan x=\frac{\pi}{2}\]
ottieni:
\begin{align}
\frac{\arctan x-\pi/2}{\sqrt x\ln x}=\frac{-\arctan 1/x }{\sqrt x\ln x}=-\frac{1}{ x^{3/2}\ln x}\to\mbox{converge.}
\end{align}
Per quanto riguarda il secondo integrale,
\[\int_{-\infty}^{+\infty} (x +e)e^{|x|(a -e)} dx\]
spezzandolo in due si ha:
\begin{align}
\int_{-\infty}^{0} ( e-x)e^{x( e-a)} dx+\int_{0}^{+\infty} (x +e)e^{ x (a -e)} dx
\end{align}
il primo integrale converge pe $e-a>0$ ovvero se $a

Cita

Segnala

[HelpThermoo]

Grazie! SCusa una cosa...puoi spiegarmi come hai ragionato per il secondo integrale? Non capisco le conclusioni..
perchè converge per $ (e-a)>0 ; (a-e)<0 $ ?

Non ti sei ricondotto a nessun integrale improprio notevole...ci deve essere qualcosa che mi sfugge .

[Noisemaker]

non c'è bisogno di ricondirsi ad integrali notevoli, l'esponenziale a $-\infty$ va a zero di ordine esponenziale quindi l'esponente deve essere positivo; viceversa quando a $+\infty$ l'esponenziale per andare a zero deve avere esponente negativo.

[HelpThermoo]

allora...dimmi se ho capito ,
per verificare se convergono i due integrali vediamo dove "convergono" le funzioni integrande
nel primo integrale abbiamo una x negativa , quindi se $ (e-a)>0 $ ,
il segno dell'esponente rimane negativo e la funzione converge a 0 , per $ x ---> -oo $

Ugualmente per il secondo , per mantenere il segno dell'esponente negativo, quel pezzo deve essere minore di zero (visto che ho x positive)

Giusto? Quindi io posso stabilire se un integrale converge anche solo guardando il comportamento della funzione all'infinito o a zero?