Ultimi dubbi presame
Salve,
cosa si intende per molteplicità di una radice?
qual è l'integrale indefinito di $tg(x)^3$?
In più avete qlc sito da consigliarmi per le eq. differenziali (esercizi + teoria schematizzata)?
Grazie
cosa si intende per molteplicità di una radice?
qual è l'integrale indefinito di $tg(x)^3$?
In più avete qlc sito da consigliarmi per le eq. differenziali (esercizi + teoria schematizzata)?
Grazie
Risposte
Molteplicità di una funzione è il numero di volte che un numero è radice di un'equazione.
Ad esempio
$f(x)=x^2+2x+1$
questa è $f(x)=(x+1)^2=(x+1)(x+1)$
quindi $x=-1$ è radice di f(x) con molteplicità 2. Cioè $-1$ è due volte radice di f(x)
mentre invece
$g(x)=(x-3)^5(x-1)^2(x-3)$
in questo caso $x=3$ è radice con molteplicità 5, $x=1$ è radice con molteplicità 2 e $x=3$ è radice con molteplicità 1
Ad esempio
$f(x)=x^2+2x+1$
questa è $f(x)=(x+1)^2=(x+1)(x+1)$
quindi $x=-1$ è radice di f(x) con molteplicità 2. Cioè $-1$ è due volte radice di f(x)
mentre invece
$g(x)=(x-3)^5(x-1)^2(x-3)$
in questo caso $x=3$ è radice con molteplicità 5, $x=1$ è radice con molteplicità 2 e $x=3$ è radice con molteplicità 1
L'idea che mi viene per l'integrale è questa:
$inttg^3(x)dx=inttg^2(x)tg(x)dx=int(tg^2(x)+1-1)tg(x)dx=int(tg^2(x)+1)tg(x)dx-inttg(x)dx$
questi sono più semplici
Non so se c'è una via più veloce..
$inttg^3(x)dx=inttg^2(x)tg(x)dx=int(tg^2(x)+1-1)tg(x)dx=int(tg^2(x)+1)tg(x)dx-inttg(x)dx$
questi sono più semplici
Non so se c'è una via più veloce..
Leena, temo che l'ultimo segno debba essere un meno, non un più.
edit. (vedo che nel frattempo hai corretto).
[mod="Steven"]Chiedo a ledrox di modificare il titolo del topic, scegliendone uno più esplicativo, come detta il regolamento.[/mod]
edit. (vedo che nel frattempo hai corretto).
[mod="Steven"]Chiedo a ledrox di modificare il titolo del topic, scegliendone uno più esplicativo, come detta il regolamento.[/mod]
Penso ti riferissi a quello che già avevo corretto..
"ledrox":
Salve,
cosa si intende per molteplicità di una radice?
Se si tratta di una funzione $P(x)$ polinomiale è semplice:
$x_0$ è una radice di molteplicità n se il polinomio può essere scritto come $(x-x_0)^n*Q(x)$, dove $Q(x)$ è il quoziente della divisione $P(x) : (x-x_0)^n$
In generale, comunque, $x_0$ è una radice di molteplicità n per la funzione f(x) se in $x_0$ si annulla la funzione e tutte le derivate successive fino alla derivata (n-1)-esima, mentre la derivata n-esima in $x_0$ è diversa da 0.
"ledrox":
qual è l'integrale indefinito di $tg(x)^3$?
Qui non capisco chi è elevato al cubo: se ad essere elevato al cubo è la x allora non so, ma se è la tangente basta trasformare un po' la funzione $tan^3x=(sin^3x)/(cos^3x)=(1-cos^2x)*sinx/(cos^3x)$ a questo punto basta porre $cosx=t$ e ottieni due integrali immediati
In generale, mi pare si possa dire che $x_0$ è una radice di $f(x)$ di molteplicità $m$ se e solo se risulta:
$\{ (f(x_0)=0 ),(lim_(x\to x_0) (f(x))/(x-x_0)^k=0 " per " k in NN " con " 1<=k<=m-1) ,(lim_(x\to x_0) (f(x))/(x-x_0)^m !=0):} \quad$ .
Ovviamente $f$ deve essere definita almeno in un intorno di $x_0$, altrimenti il limite non si può fare.
Ad esempio la $f(x)=tg^3x$ ha in $x_0=0$ una radice d'ordine $m=3$.
$\{ (f(x_0)=0 ),(lim_(x\to x_0) (f(x))/(x-x_0)^k=0 " per " k in NN " con " 1<=k<=m-1) ,(lim_(x\to x_0) (f(x))/(x-x_0)^m !=0):} \quad$ .
Ovviamente $f$ deve essere definita almeno in un intorno di $x_0$, altrimenti il limite non si può fare.
Ad esempio la $f(x)=tg^3x$ ha in $x_0=0$ una radice d'ordine $m=3$.
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