Ultima serie

[piccola881]

questa è l'ultima ve lo prometto..
$\sum((n^6+n^3)/(n^10+1))^(1/7)sen1/n^(2/5)

ho fatto due calcoli e esce $\sum(1/n^4((1+1/(n^3))/(1+1/n^(10))))^(1/7)sen1/n^(2/5)

visto che $\sen1/n ~ 1/n-1/(6n^3)
allora $\sen1/n^(2/5) ~ 1/n^(2/5)-1/(6n^(6/5))=(6n^(3)-1)/(6n^(6/5))

quindi la serie di partenza diventa $\ 1/n^(4/7)((1+1/(n^3))/(1+1/n^(10)))^(1/7)(6n^3-1)/(6n^(6/5))
mi si trova infine $\ 1/n^(-43/35)((1+1/(n^3))/(1+1/n^(10)))^(1/7)(-1/(6n^3))

altrimenti un altro modo sarebbe quello di minorare $\sen1/n^(2/5)<1
e visto che $\lim ((n^6+n^3)/(n^10+1))^(1/7) =0
allora la serie converge assolutamente..

[gugo82]

Scusa, ma usare $sinx ~ x$ non era meglio?

Poi il fattore $(1+1/n^("qualcosa"))/(1+1/n^("qualche altra cosa"))$ puoi anche dimenticartelo: visto che converge ad $1$ non ti da contributo rispetto all'ordine di infinitesimo.

[piccola881]

si,ma in alcuni esercizi svolti $\sen(f(x))<1$,altre volte$\senf(x)~f(x)$,altre volte lo scompone con taylor,come faccio a stabilire in che modo posso minorare o uguagliare il sen f(x)?

comunque ponendo $\sen(1/n)~(1/n)$ e trascurando quel pezzo..mi viene:
$\1/n^(4/7)(1/n)=1/n^(11/7)$ che converge

[gugo82]

Occhio! Hai $sin (1/n^(2/5)) ~ 1/n^(2/5)$...

Per il resto (ossia circa la faccenda dell'approssimazione di $sin f(x)$), ovviamente all'inizio devi provare le varie strade per trovare quella utile alla soluzione; ad un certo punto, però, l'esperienza accumulata riesce a "consigliarti" quale sia la tattica migliore per risolvere l'esercizio che hai davanti.