Ultilizzo sviluppi McLaurin funzioni in due variabili
Ciao a tutti,
non ho capito come funziona lo sviluppo in serie utilizzando gli sviluppi di McLaurin per funzioni in due variabili:
per esempio in questo esercizio dove chiede lo sviluppo in serie di Taylor della funzione centrata nel punto P(0,1) arrestata al secondo ordine, non capisco in che modo viene sfruttato McLaurin, anche perché so che lo sviluppo di McLaurin si usa quando il punto in cui è centrata la funzione è P(0,0), mentre qui il punto è P(0,1): forse si considera solo la variabile x?
potete spiegarmi come procedere con l'esercizio seguente?
$ f(x,y)=log (3x^(2)+y) $ , $ P(0,1) $
Grazie in anticipo
non ho capito come funziona lo sviluppo in serie utilizzando gli sviluppi di McLaurin per funzioni in due variabili:
per esempio in questo esercizio dove chiede lo sviluppo in serie di Taylor della funzione centrata nel punto P(0,1) arrestata al secondo ordine, non capisco in che modo viene sfruttato McLaurin, anche perché so che lo sviluppo di McLaurin si usa quando il punto in cui è centrata la funzione è P(0,0), mentre qui il punto è P(0,1): forse si considera solo la variabile x?
potete spiegarmi come procedere con l'esercizio seguente?
$ f(x,y)=log (3x^(2)+y) $ , $ P(0,1) $
Grazie in anticipo
Risposte
La formula che ti serve è questa:
$T(0,1)=f(0,1)+1/(1!)*[(x-0)*(partial f)/(partial x) (0,1) + (y-1)*(partial f)/(partial y) (0,1) ] +$
$1/(2!)*[(x-0)^2*(partial^2 f)/(partial x^2) (0,1)+ (y-1)^2*(partial^2 f)/(partial y^2) (0,1)+2(x-0)(y-1)*(partial f)/(partial xy)(0,1)]+$
$R(0,1)$
$T(0,1)=f(0,1)+1/(1!)*[(x-0)*(partial f)/(partial x) (0,1) + (y-1)*(partial f)/(partial y) (0,1) ] +$
$1/(2!)*[(x-0)^2*(partial^2 f)/(partial x^2) (0,1)+ (y-1)^2*(partial^2 f)/(partial y^2) (0,1)+2(x-0)(y-1)*(partial f)/(partial xy)(0,1)]+$
$R(0,1)$
"zen34":
Ciao a tutti,
...utilizzando gli sviluppi di McLaurin per funzioni in due variabili:
si ma quella è la formula di Taylor arrestata al secondo ordine ma a me serve capire lo sviluppo utilizzando McLaurin
Bhè Mac Laurin per $2$ variabili si usa solo in un intorno di $(0,0)$, forse intende usare Mac Laurin per la funzione:
$f(x)=log(3x^2+y)$ dove $y$ funge da variabile muta?
$f(x)=log(3x^2+y)$ dove $y$ funge da variabile muta?
l'esercizio, del quale ho lo svolgimento (almeno in parte) e la soluzione, recita:
Senza fare derivate, si puµo usare lo sviluppo di McLaurin di $ log(1 + t) $ :
$ f(x,y)=log((3x^2+y-1)+1) $
$ =(3x^2+y-1)- 1 / 2 (3x^2+y-1)^2 + ... $
$ =(y-1)+3x^2- 1 / 2 (y-1)^2 + o((x^2+(y-1)^2), (x,y)rarr (0,1) $
svolto mediante McLaurin, senza calcolare tutte le derivate...e quello che voglio capire io è come utilizzare McLaurin in questi casi, dato che viene usato per gli sviluppi arrestati al sesto ordine, e calcolare le derivate fino a quel punto richiede diverso tempo
Grazie
Senza fare derivate, si puµo usare lo sviluppo di McLaurin di $ log(1 + t) $ :
$ f(x,y)=log((3x^2+y-1)+1) $
$ =(3x^2+y-1)- 1 / 2 (3x^2+y-1)^2 + ... $
$ =(y-1)+3x^2- 1 / 2 (y-1)^2 + o((x^2+(y-1)^2), (x,y)rarr (0,1) $
svolto mediante McLaurin, senza calcolare tutte le derivate...e quello che voglio capire io è come utilizzare McLaurin in questi casi, dato che viene usato per gli sviluppi arrestati al sesto ordine, e calcolare le derivate fino a quel punto richiede diverso tempo
Grazie
Considera la funzione:
$f(x,y)=log(3x^2+y)=log([3x^2+ y-1]+1)$
Poniamo $z=[3x^2+ y-1]$, si ha che per $(x,y)->(0,1) => z->0$
$log(z+1)=z-z^2/2+o(z^2)$
$log(z+1)=(3x^2+ y-1)-(3x^2+ y-1)^2/2+o((3x^2+ y-1)^2/2)$
$f(x,y)=log(3x^2+y)=log([3x^2+ y-1]+1)$
Poniamo $z=[3x^2+ y-1]$, si ha che per $(x,y)->(0,1) => z->0$
$log(z+1)=z-z^2/2+o(z^2)$
$log(z+1)=(3x^2+ y-1)-(3x^2+ y-1)^2/2+o((3x^2+ y-1)^2/2)$
Innanzitutto ti ringrazio perché ora è tutto più chiaro!
o quasi: l'unica cosa che non mi torna è nell'ultimo passaggio, dove c'è
$ o((3x^2+y-1)^2 / 2) $ : quello che non capisco è perché tutto è diviso per 2 visto che secondo lo sviluppo di McLaurin sarebbe $ ...+o(z^n ) $
o quasi: l'unica cosa che non mi torna è nell'ultimo passaggio, dove c'è
$ o((3x^2+y-1)^2 / 2) $ : quello che non capisco è perché tutto è diviso per 2 visto che secondo lo sviluppo di McLaurin sarebbe $ ...+o(z^n ) $
$o(z^n)$ oppure $o(z^n/2)$ è indifferente 
ok!
grazie mille ancora per la rapidità delle risposte e la chiarezza!
grazie mille ancora per la rapidità delle risposte e la chiarezza!
Di niente!
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