Uguaglianza tra due sommatorie
Gentili colleghi,
vi scrivo perché da ieri pomeriggio sto provando a risolvere un esercizio, e ahimè, ho capito che mi manca qualche passaggio per sperare di poterlo risolvere, quindi chiedo a voi, sperando che serva a qualcuno in futuro, dato che su internet non ho trovato nulla.
Devo dimostrare che $\sum_(i=0)^n i^3 = (sum_(i=0)^n i)^2$ con $\x in RR$.
Ho provato per risolvere questo problema due tentativi, all'apparenza entrambi fallimentari.
Primo tentativo:
Ho riscritto l'uguaglianza da dimostrare come:
$\0^3+1^3+2^3+...+n^3 = (0+1+2+...+n)^2$
Ho provato per induzione, ma niente, non ho trovato nessuna soluzione al mio problema.
Secondo tentativo:
So che il quadrato di un polinomio darà come risultato la somma del quadrato dei suoi elementi più il doppio prodotto di tutti ogni elemento per i suoi successivi.
Quindi ho scritto l'uguaglianza come:
$\sum_(i=0)^n i^3 = sum_(i=0)^n i^2+2*sum_(i=0)^(n-1) i*sum_(h=i+1)^n i$
Purtroppo anche in questo caso non so come andare avanti.
Spero voi possiate darmi una mano, grazie a chi risponderà.
Una buona domenica!
vi scrivo perché da ieri pomeriggio sto provando a risolvere un esercizio, e ahimè, ho capito che mi manca qualche passaggio per sperare di poterlo risolvere, quindi chiedo a voi, sperando che serva a qualcuno in futuro, dato che su internet non ho trovato nulla.
Devo dimostrare che $\sum_(i=0)^n i^3 = (sum_(i=0)^n i)^2$ con $\x in RR$.
Ho provato per risolvere questo problema due tentativi, all'apparenza entrambi fallimentari.
Primo tentativo:
Ho riscritto l'uguaglianza da dimostrare come:
$\0^3+1^3+2^3+...+n^3 = (0+1+2+...+n)^2$
Ho provato per induzione, ma niente, non ho trovato nessuna soluzione al mio problema.
Secondo tentativo:
So che il quadrato di un polinomio darà come risultato la somma del quadrato dei suoi elementi più il doppio prodotto di tutti ogni elemento per i suoi successivi.
Quindi ho scritto l'uguaglianza come:
$\sum_(i=0)^n i^3 = sum_(i=0)^n i^2+2*sum_(i=0)^(n-1) i*sum_(h=i+1)^n i$
Purtroppo anche in questo caso non so come andare avanti.
Spero voi possiate darmi una mano, grazie a chi risponderà.
Una buona domenica!
Risposte
Due cose.
Non c'è bisogno di urlare, quindi evita di scrivere con caratteri troppo grandi.
Poi, la dimostrazione si fa per induzione.
Quindi prova a postare passaggi, così controlliamo.
P.S.: Cosa c'entra "con $x in RR$"?
Non c'è bisogno di urlare, quindi evita di scrivere con caratteri troppo grandi.
Poi, la dimostrazione si fa per induzione.
Quindi prova a postare passaggi, così controlliamo.
P.S.: Cosa c'entra "con $x in RR$"?
Ciao Fainret,
Benvenuto sul forum!
In che senso?
L'uguaglianza è ben nota e si enuncia dicendo che la somma dei cubi dei primi $n $ numeri naturali è pari al quadrato della somma dei primi $n$ numeri naturali.
Mi vengono in mente un altro paio di metodi per dimostrarla oltre a quello per induzione che ti è già stato suggerito, di cui uno più elementare (che casomai poi ti suggerisco) che si può generalizzare facendo uso dell'identità di Pascal, e l'altro un po' più avanzato proposto nel 1834 da Carl Gustav Jacob Jacobi (Potsdam, 10 dicembre 1804 - Berlino, 18 febbraio 1851).
Qualora intendessi procedere per induzione potrebbe farti comodo osservare che come è ben noto si ha:
$0 + 1 + 2 + ... + n = \sum_{i = 0}^n i = \frac{n(n + 1)}{2} \implies (\sum_{i = 0}^n i)^2 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} $
Benvenuto sul forum!
"Fainret":
Gentili colleghi,
In che senso?
"Fainret":
Devo dimostrare che $ \sum_{i = 0}^n i^3 = (\sum_{i = 0}^n i)^2 $
L'uguaglianza è ben nota e si enuncia dicendo che la somma dei cubi dei primi $n $ numeri naturali è pari al quadrato della somma dei primi $n$ numeri naturali.
Mi vengono in mente un altro paio di metodi per dimostrarla oltre a quello per induzione che ti è già stato suggerito, di cui uno più elementare (che casomai poi ti suggerisco) che si può generalizzare facendo uso dell'identità di Pascal, e l'altro un po' più avanzato proposto nel 1834 da Carl Gustav Jacob Jacobi (Potsdam, 10 dicembre 1804 - Berlino, 18 febbraio 1851).
Qualora intendessi procedere per induzione potrebbe farti comodo osservare che come è ben noto si ha:
$0 + 1 + 2 + ... + n = \sum_{i = 0}^n i = \frac{n(n + 1)}{2} \implies (\sum_{i = 0}^n i)^2 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} $
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