Uguaglianza strana, è mai possibile?
Salve popolo! 
Mentre cercavo di trovare la soluzione al seguente problema di cauchy: $x'' = -x, x(0) = 0$ che ha soluzione $x(t) = sin(t)$ (Che si ottiene espandendo $x(t)$ in serie di Maclaurin), ho pensato di trovare una soluzione "alternativa" ragionando così:
$x'' = \frac{d^2x}{dt^2} = -x$
$\frac{d^2x}{x} = -dt^2$
E svolgendo gli integrali doppi (Integrali indefiniti, eh) da ambo i lati, ottengo una roba tipo:
$x(ln(x)-1) = -\frac{t^2}{2} + c$
Poniamo la quantità $\frac{t^2}{2} = a$, così dovrò scrivere di meno ...
$x(ln(x) - ln(e)) = -a + c$
$x(ln(\frac{x}{e})) = -a + c$
$e\frac{x}{e}(ln(\frac{x}{e})) = -a + c$
$eln[(\frac{x}{e})^\frac{x}{e}] = - a + c$
$ln[(\frac{x}{e})^\frac{x}{e}] = - \frac{a}{e} + c$
$(\frac{x}{e})^\frac{x}{e} = e^{- \frac{a}{e} + c}$
Visto che avevo trovato (Su internet!) la soluzione rispetto ad $x$ di una generica equazione del tipo $x^x=a$ che è
$x = e^{W(ln(a))}$ dove $W(x)$ è la funzione W di Lambert ( http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_w_function ) possiamo scrivere l'equazione di prima come:
$x/e = e^{W(ln(e^{- \frac{a}{e} + c}))} = e^{W(- \frac{a}{e} + c)}$
Ri-sostituendo $a = \frac{t^2}{2}$ e cacciando la $e$ dalla $x$ abbiamo:
$x(t) = e * e^{W(- \frac{t^2}{2e} + c)}$
Ma non abbiamo ancora finito! Dobbiamo trovare quel valore di $c$ tale che $x(0) = 0$!
Poniamo $b = - \frac{t^2}{2e} + c$, e ricordandoci la definizione $W(z)e^{W(z)} = z$; $e^{W(z)}= \frac{z}{W(z)}$ abbiamo:
$x(t) = e*e^{W(b)} = e*\frac{b}{W(b)}$, ovvero $e* \frac{- \frac{t^2}{2e} + c}{W(- \frac{t^2}{2e} + c)}$ che opportunamente semplificato dà:
$x(t) = - \frac{t^2}{2}\frac{1}{W(-\frac{t^2}{2e}+c)} + c$.
Per $t = 0$ la scrittura a sinistra del secondo membro si annulla, per tanto $c = 0$, dunque:
$x(t) = - \frac{t^2}{2}\frac{1}{W(-\frac{t^2}{2e})}$.
Ora arriva il momento di crisi ...
Visto che la soluzione più accreditata dell'equazione differenziale $x'' = -x$, per $x(0) = 0$, è $x(t) = sin(t)$, vorra dire che
$x(t) = - \frac{t^2}{2}\frac{1}{W(-\frac{t^2}{2e})} = sin(t)$.
È mai possibile tutto ciò?
Grazie per una vostra eventuale risposta.
Mentre cercavo di trovare la soluzione al seguente problema di cauchy: $x'' = -x, x(0) = 0$ che ha soluzione $x(t) = sin(t)$ (Che si ottiene espandendo $x(t)$ in serie di Maclaurin), ho pensato di trovare una soluzione "alternativa" ragionando così:
$x'' = \frac{d^2x}{dt^2} = -x$
$\frac{d^2x}{x} = -dt^2$
E svolgendo gli integrali doppi (Integrali indefiniti, eh) da ambo i lati, ottengo una roba tipo:
$x(ln(x)-1) = -\frac{t^2}{2} + c$
Poniamo la quantità $\frac{t^2}{2} = a$, così dovrò scrivere di meno ...
$x(ln(x) - ln(e)) = -a + c$
$x(ln(\frac{x}{e})) = -a + c$
$e\frac{x}{e}(ln(\frac{x}{e})) = -a + c$
$eln[(\frac{x}{e})^\frac{x}{e}] = - a + c$
$ln[(\frac{x}{e})^\frac{x}{e}] = - \frac{a}{e} + c$
$(\frac{x}{e})^\frac{x}{e} = e^{- \frac{a}{e} + c}$
Visto che avevo trovato (Su internet!
) la soluzione rispetto ad $x$ di una generica equazione del tipo $x^x=a$ che è$x = e^{W(ln(a))}$ dove $W(x)$ è la funzione W di Lambert ( http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_w_function ) possiamo scrivere l'equazione di prima come:
$x/e = e^{W(ln(e^{- \frac{a}{e} + c}))} = e^{W(- \frac{a}{e} + c)}$
Ri-sostituendo $a = \frac{t^2}{2}$ e cacciando la $e$ dalla $x$ abbiamo:
$x(t) = e * e^{W(- \frac{t^2}{2e} + c)}$
Ma non abbiamo ancora finito! Dobbiamo trovare quel valore di $c$ tale che $x(0) = 0$!
Poniamo $b = - \frac{t^2}{2e} + c$, e ricordandoci la definizione $W(z)e^{W(z)} = z$; $e^{W(z)}= \frac{z}{W(z)}$ abbiamo:
$x(t) = e*e^{W(b)} = e*\frac{b}{W(b)}$, ovvero $e* \frac{- \frac{t^2}{2e} + c}{W(- \frac{t^2}{2e} + c)}$ che opportunamente semplificato dà:
$x(t) = - \frac{t^2}{2}\frac{1}{W(-\frac{t^2}{2e}+c)} + c$.
Per $t = 0$ la scrittura a sinistra del secondo membro si annulla, per tanto $c = 0$, dunque:
$x(t) = - \frac{t^2}{2}\frac{1}{W(-\frac{t^2}{2e})}$.
Ora arriva il momento di crisi ...
Visto che la soluzione più accreditata dell'equazione differenziale $x'' = -x$, per $x(0) = 0$, è $x(t) = sin(t)$, vorra dire che
$x(t) = - \frac{t^2}{2}\frac{1}{W(-\frac{t^2}{2e})} = sin(t)$.
È mai possibile tutto ciò?
Grazie per una vostra eventuale risposta.
Risposte
No, non è possibile! Il tuo errore sta nell'usare in modo davvero orrendo il differenziale come se fosse il quadrato di qualcosa!
Ma credo che un sagace intervento di Fioravante potrà delucidarti (e farti piangere) con maggiore gioia!
Ma credo che un sagace intervento di Fioravante potrà delucidarti (e farti piangere) con maggiore gioia!
Aspetterò lui allora.
EDIT:
Credo che l'errore sia stato questo: $(\frac{dx(t)}{dt})^2 != \frac{d^2x(t)}{dt^2}$
EDIT:
Credo che l'errore sia stato questo: $(\frac{dx(t)}{dt})^2 != \frac{d^2x(t)}{dt^2}$
Ho 120 anni, ma in vita mia non ho mai visto una cosa simile!
Sono urang utang geneticamente modificati?
Sono urang utang geneticamente modificati?
Ho editato ... 
"Mega-X":
$x'' = \frac{d^2x}{dt^2} = -x$
$\frac{d^2x}{x} = -dt^2$
E svolgendo gli integrali doppi (Integrali indefiniti, eh) da ambo i lati, ottengo una roba tipo:
$x(ln(x)-1) = -\frac{t^2}{2} + c$
Ragionamento sbagliato, come detto da altri; questa è una ODE lineare del second'ordine, il cui polinomio associato è $t^2+1=0$. I suoi zeri sono: $t=+-i$. Pertanto le soluzioni sono tutte e sole del tipo: $c_1sint+c_2cost$ ($forallc_1,c_2\inRR$). Quello che hai scritto non trova alcuna giustificazione matematica, almeno stando a quanto ho studiato io.
Ma perchè incasinarsi con funzioni speciali che vengono usate si e no da dieci persone* sulla faccia della terra?
Non sarebbe meglio studiare bene Analisi (e non scrivere certe vaccate sui differenziali)?
Voglio dire, va bene la curiosità, ma le cose si fanno piano piano, una alla volta.
Di una casa non si costruisce mai prima il tetto.
__________
* Dato approssimato per difetto.
Non sarebbe meglio studiare bene Analisi (e non scrivere certe vaccate sui differenziali)?
Voglio dire, va bene la curiosità, ma le cose si fanno piano piano, una alla volta.
Di una casa non si costruisce mai prima il tetto.
__________
* Dato approssimato per difetto.
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