Uguaglianza strana

[g.schgor1]

Qualcuno sa dimostrare perche’

arcsen(sqrt(x-(x/2)^2)) - pi/2 = arcsen((x/2) -1)

per x compreso fra 0 e 2 ? (facile, ma insolito)

[Sk_Anonymous]

Basta osservare che x-x^2/4=1-(x/2-1)^2, e porre x/2-1=cos t? Poi dovrebbe venire facile...

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[fireball1]

Se sono uguali gli angoli, saranno uguali
anche i rispettivi seni.
I due membri hanno senso per 0 <= x <= 4.
Calcoliamo il seno di entrambi i membri.
Si ha: sen(arcsen(sqrt(x-(x/2)^2)) - pi/2) =
= sen(-(pi/2 - arcsen(sqrt(x-(x/2)^2)))) =
= -sen(pi/2 - arcsen(sqrt(x-(x/2)^2)) =
= -cos(arcsen(sqrt(x-(x/2)^2)) = -sqrt(1-(x-(x/2)^2))

E ovviamente: sen(arcsen((x/2)-1)) = x/2 - 1
Sarà dunque:

-sqrt(1-(x-(x/2)^2)) = x/2 - 1
-sqrt(1-x+x^2/4) = x/2 - 1

Risolvendo questa equazione si ottiene che essa
è valida per x <= 2, ma tenendo conto delle condizioni
di esistenza di entrambi i membri che avevamo posto
all'inizio, cioè x € [0 ; 4], l'equazione è soddisfatta
per 0 <= x <= 2.

[jack110]

io ho fatto così:
porto il pi/2 al secondo membro, poi faccio il seno di ambo i membri, ottenendo:
sin(arsin{sqrt[x-(x/2)^2]})= sin {[arsin(x/2 -1)]+pi/2}
da cui il secondo membro diventa:
cos[arsin(x/2 -1)], e poichè cos(x)=sqrt(1-sin^2(x)), allora ho
sqrt(1-{sin[arsin(x/2 -1)]}^2), che diventa
sqrt(1-(x/2 -1)^2) e si verifica che quest' ultima forma è uguale al primo membro...

ciao

[g.schgor1]

Complimenti a tutti i solutori.
Io l'avevo risolta cosi':

[Sk_Anonymous]

Attenzione a tutti quanti: ci sono almeno due errori comuni a tutte le vostre soluzioni: un errore logico ed un errore analitico (che a volte si sovrappongono). L'errore logico e' stato messo bene in evidenza nella soluzione di Fireball: e' vero che se a=b allora sen a=sen b (il seno e' una funzione) ma non e' vero il viceversa. Il quesito chiedeva di provare che a=b, non che sen a=sen b (il seno non e' invertibile!). L'errore analitico e' piu' o meno lo stesso, ovvero il fatto di scrivere arcsen(sen x)=x. Questa uguaglianza ha delle restrizioni, proprio perche' il seno non si inverte dappertutto.

Lo schema della soluzione e' comunque quello, tutti lo hanno centrato, ma ci sono delle finezze da sistemare.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[fireball1]

Ah, bene, bella figura ho fatto...
Però ho sbagliato solo a dire che "essendo sin a = sin b è anche a = b"
(capisco che non è poco), perché nella mia soluzione
non c'è ombra della falsa identità:
arcsin(sin f(x)) = f(x) , che so essere valida solo se è
-pi/2 + 2kpi <= f(x) <= pi/2 + 2kpi
con k intero relativo o nullo.

[Sk_Anonymous]

Si, e' un errore logico, per cui la dimostrazione va sistemata. Puo' sembrare sottile, ma gli errori logici spesso si pagano molto cari, quindi fai attenzione.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it