Uguaglianza spazi normati
salve a tutti,
ho un problema che mi tormenta da tempo al qualche non riesco a dare una risposta rigorosa:
consideriamo la metrica $doo(f(x),0)=lim_(p -> oo) (int_(a)^(b) |f(x)|^p)^(1/p) $, dove f(x) è definita in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e continua in esso.
Devo dimostrare che $ lim_(p -> oo) (int_(a)^(b) |f(x)|^p)^(1/p) = Max|f(x)| $, dove il massimo è calcolato su $[a,b]$.
Ho provato in diversi modi a dimostrarlo ma non riesco a trovare un modo per portare il limite sotto il segno di integrale o delle maggiorazioni intelligenti... Qualche aiutino sarebbe gradito. Grazie.
ho un problema che mi tormenta da tempo al qualche non riesco a dare una risposta rigorosa:
consideriamo la metrica $doo(f(x),0)=lim_(p -> oo) (int_(a)^(b) |f(x)|^p)^(1/p) $, dove f(x) è definita in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e continua in esso.
Devo dimostrare che $ lim_(p -> oo) (int_(a)^(b) |f(x)|^p)^(1/p) = Max|f(x)| $, dove il massimo è calcolato su $[a,b]$.
Ho provato in diversi modi a dimostrarlo ma non riesco a trovare un modo per portare il limite sotto il segno di integrale o delle maggiorazioni intelligenti... Qualche aiutino sarebbe gradito. Grazie.
Risposte
Scusa, ma ho qualche problema con la notazione, non riesco a ricostruirla, forse quella che mi hai passato interessa casi più generali... grazie
@Gugo: Ma qui si parla di funzioni continue, non della massima generalità. Questo è un bellissimo esercizio per Analisi 1.
Inizia con il convincerti che la disuguaglianza
[tex]$\lim_{p \to \infty}\left( \int_a^b \lvert f(x) \rvert^p \right)^{1\over p} \le M=\max_{[a, b]}\lvert f(x) \rvert[/tex]
è facile. E' l'altra disuguaglianza quella difficilotta.
Inizia con il convincerti che la disuguaglianza
[tex]$\lim_{p \to \infty}\left( \int_a^b \lvert f(x) \rvert^p \right)^{1\over p} \le M=\max_{[a, b]}\lvert f(x) \rvert[/tex]
è facile. E' l'altra disuguaglianza quella difficilotta.
Di questa ne sono convinto, basta minorarlo con 1 al posto della funzione nell'integrale...
Bene. Detto meglio: siccome [tex]\lvert f(x) \rvert \le M[/tex], cioè [tex]f[/tex] è sovrastata dalla funzione costante [tex]M[/tex], anche
[tex]$\left( \int_a^b \lvert f(x) \rvert^{p}\right)^{1 \over p} \le \left( \int_a^b \lvert M \rvert^{p}\right)^{1 \over p}[/tex]
e il secondo membro di questa disuguaglianza è uguale a [tex]M(b-a)^{1\over p}[/tex] che tende evidentemente a [tex]M[/tex].
Ora però bisogna dimostrare l'altra disuguaglianza. C'è un trucco che ti svelo, perché arrivarci da soli è secondo me impossibile: prendi una funzione [tex]s[/tex] costante su un sottointervallo e nulla fuori da esso:
[tex]$s(x)=\begin{cases} C & x \in [\alpha, \beta] \\ 0 & \text{altrove} \end{cases}[/tex]
Cosa puoi dire di [tex]\lim_{p \to \infty} \left( \int_a^b \lvert s(x) \rvert^p \right)^{1\over p}[/tex]?
Domanda extra: [EDIT: Rimossa domanda extra. ]
[tex]$\left( \int_a^b \lvert f(x) \rvert^{p}\right)^{1 \over p} \le \left( \int_a^b \lvert M \rvert^{p}\right)^{1 \over p}[/tex]
e il secondo membro di questa disuguaglianza è uguale a [tex]M(b-a)^{1\over p}[/tex] che tende evidentemente a [tex]M[/tex].
Ora però bisogna dimostrare l'altra disuguaglianza. C'è un trucco che ti svelo, perché arrivarci da soli è secondo me impossibile: prendi una funzione [tex]s[/tex] costante su un sottointervallo e nulla fuori da esso:
[tex]$s(x)=\begin{cases} C & x \in [\alpha, \beta] \\ 0 & \text{altrove} \end{cases}[/tex]
Cosa puoi dire di [tex]\lim_{p \to \infty} \left( \int_a^b \lvert s(x) \rvert^p \right)^{1\over p}[/tex]?
Domanda extra: [EDIT: Rimossa domanda extra. ]
Ah, non avevo letto... Appena ho letto la relazione di limite sono andato in automatico. 
Grazie per avermi segnalato la cosa dissonance.
Grazie per avermi segnalato la cosa dissonance.
Cosa intendi per funzioni di p?
@UgoFoscolo: Prima di concludere, prova a rispondere alle due domande che ho posto prima. Poi vediamo come sfruttare il tutto.
P.S.:Ah ecco non avevo letto. "Funzioni di $p$" significa che dipendono da $p$. Si intende che $alpha, beta$ possono dipendere da $p$ ma $C$ no, $C$ è costante.
P.S.:Ah ecco non avevo letto. "Funzioni di $p$" significa che dipendono da $p$. Si intende che $alpha, beta$ possono dipendere da $p$ ma $C$ no, $C$ è costante.
Beh del limite della prima domanda potrei dire che tende a C se l'intervallo [alfa,beta] coincide con [a,b]
No. Proprio questo è il punto cruciale. Facciamo così: lasciamo stare la dipendenza da $p$ che introduce confusione, ripensandoci meglio se ne può fare a meno. Supponiamo che $alpha, beta$ siano costanti. Calcola
$lim_{\p \to \infty} (int_alpha^beta |s(x)|^p dx )^{1/p}$.
$lim_{\p \to \infty} (int_alpha^beta |s(x)|^p dx )^{1/p}$.
Ma io suggerirei di usare Chebyschev anche in questo caso, senza fare troppi giri.
Infatti è sempre vero che per ogni [tex]$0\leq t<\max |s|$[/tex] si ha:
[tex]$\int_a^b |s(x)|^p\ \text{d} x \geq \int_{\{ x\in [a,b]:\ |s(x)|>t \}} |s(x)|^p\ \text{d} x >t^p \int_{\{ x\in [a,b]:\ |s(x)|>t \}} \ \text{d} x =t^p\ m(\{ x\in [a,b]:\ |s(x)|>t \})$[/tex]
quindi:
[tex]$\left\{ \int_a^b |s(x)|^p\ \text{d} x \right\}^\frac{1}{p} \geq t\ m^\frac{1}{p} (\{ x\in [a,b]:\ |s(x)|>t \})$[/tex],
ove [tex]$m(\cdot )$[/tex] denota la misura di Lebesgue.
Passando al limite su [tex]$p$[/tex] e poi prendendo il [tex]$\sup$[/tex] rispetto a [tex]$t$[/tex] si ottiene la disuguaglianza che serviva.
Infatti è sempre vero che per ogni [tex]$0\leq t<\max |s|$[/tex] si ha:
[tex]$\int_a^b |s(x)|^p\ \text{d} x \geq \int_{\{ x\in [a,b]:\ |s(x)|>t \}} |s(x)|^p\ \text{d} x >t^p \int_{\{ x\in [a,b]:\ |s(x)|>t \}} \ \text{d} x =t^p\ m(\{ x\in [a,b]:\ |s(x)|>t \})$[/tex]
quindi:
[tex]$\left\{ \int_a^b |s(x)|^p\ \text{d} x \right\}^\frac{1}{p} \geq t\ m^\frac{1}{p} (\{ x\in [a,b]:\ |s(x)|>t \})$[/tex],
ove [tex]$m(\cdot )$[/tex] denota la misura di Lebesgue.
Passando al limite su [tex]$p$[/tex] e poi prendendo il [tex]$\sup$[/tex] rispetto a [tex]$t$[/tex] si ottiene la disuguaglianza che serviva.
Grosso modo anche la strada a cui penso io è quella, solo che è più "grafica". Secondo me è più adatta ad uno studente di Analisi 1, poi non so, dipende da UgoFoscolo90.
@UgoFoscolo90: Se vuoi ti posso rivelare la soluzione, ma secondo me provare un altro po' potrebbe essere istruttivo.
@UgoFoscolo90: Se vuoi ti posso rivelare la soluzione, ma secondo me provare un altro po' potrebbe essere istruttivo.
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