Uguaglianza integrale
Buonasera ragazzi,
chiedo aiuto a voi per capire se c'è speranza che questa uguaglianza possa essere vera:
$$\int_{-\infty}^{\infty}\log^2|x|\cdot F'(x)\mathrm{d}x = \lim_{\alpha\to-1^+}\int_{-\infty}^\infty 2|x|^\alpha\log|x|\text{sgn}(x)\cdot F(x)\mathrm{d}x$$
dove $F(x)$ è una funzione infinitamente differenziabile e tale che $F(x)=o(x^{-N})$ per $x\to\infty$ per qualsiasi $N$.
Grazie in anticipo per qualunque spintina vogliate darmi
chiedo aiuto a voi per capire se c'è speranza che questa uguaglianza possa essere vera:
$$\int_{-\infty}^{\infty}\log^2|x|\cdot F'(x)\mathrm{d}x = \lim_{\alpha\to-1^+}\int_{-\infty}^\infty 2|x|^\alpha\log|x|\text{sgn}(x)\cdot F(x)\mathrm{d}x$$
dove $F(x)$ è una funzione infinitamente differenziabile e tale che $F(x)=o(x^{-N})$ per $x\to\infty$ per qualsiasi $N$.
Grazie in anticipo per qualunque spintina vogliate darmi
Risposte
Ciao Silent,
Innanzitutto posso chiederti dove hai trovato l'uguaglianza?
Ad ogni modo la prima cosa che mi è venuta in mente è che ci sia di mezzo un'integrazione per parti con fattore finito $log^2|x| $:
$\int_{-\infty}^{+\infty} log^2|x| F'(x) \text{d}x = 0 - \int_{-\infty}^{+\infty} 2 |x|^-1 log|x| \text{sgn}(x) \cdot F(x) \text{d}x $
Innanzitutto posso chiederti dove hai trovato l'uguaglianza?
Ad ogni modo la prima cosa che mi è venuta in mente è che ci sia di mezzo un'integrazione per parti con fattore finito $log^2|x| $:
$\int_{-\infty}^{+\infty} log^2|x| F'(x) \text{d}x = 0 - \int_{-\infty}^{+\infty} 2 |x|^-1 log|x| \text{sgn}(x) \cdot F(x) \text{d}x $
A livello distribuzionale potrebbe avere senso... Devi controllare i dettagli.
Dovresti andarti a leggere un libro in merito, però: quello di Gilardi, Analisi 3, è buono (anche se un po' pesante)... Altrimenti vai direttamente alla fonte col libro di Schwartz.
Dovresti andarti a leggere un libro in merito, però: quello di Gilardi, Analisi 3, è buono (anche se un po' pesante)... Altrimenti vai direttamente alla fonte col libro di Schwartz.
Ciao, l'uguaglianza riportata è una mia deduzione, che proviene da una frase scritta nel libro di Lighthill, introduction to Fourier analysis and generalised function, in particolare le equazioni (49) e (50) di pag. 41. Niente di esplicitamente dichiarato e sottoscritto da qualche autore, insomma 
Che intendi con 'fattore finito'?
Che intendi con 'fattore finito'?
"Silent":
Che intendi con 'fattore finito'?
Beh, nell'integrale da risolvere per parti si può distinguere un "fattore finito" ed un "fattore differenziale": dopodiché la formula d'integrazione per parti (IBP in inglese) afferma che l'integrale è uguale al prodotto del fattore finito per l'integrale del fattore differenziale $ [log^2|x| \cdot F(x)]_{-\infty}^{+\infty} $ che è nullo, se ho capito bene le ipotesi sulla $F(x) $, meno l'integrale del fattore differenziale moltiplicato per la derivata del fattore finito $log^2|x| $ che è proprio $2 |x|^-1 log|x| \text{sgn}(x) $
Ah ok, ho capito, scusa la domanda stupida non li avevo mai chiamati così.
Ili fatto è che l'integrale che ne esce fuori (quello che contiene $ 2 |x|^-1 log|x| \text{sgn}(x) $) non converge a causa della singolarità troppo cattiva in 0. Dico bene?
Ili fatto è che l'integrale che ne esce fuori (quello che contiene $ 2 |x|^-1 log|x| \text{sgn}(x) $) non converge a causa della singolarità troppo cattiva in 0. Dico bene?
"Silent":
Ah ok, ho capito, scusa la domanda stupida non li avevo mai chiamati così.
Ili fatto è che l'integrale che ne esce fuori (quello che contiene $ 2 |x|^-1 log|x| \text{sgn}(x) $) non converge a causa della singolarità troppo cattiva in 0. Dico bene?
Sì, vabbè... Ma se sei in ambito distribuzionale vale tutto.
Io non sono in quell'ipotesi.
"Silent":
Io non sono in quell'ipotesi.
Perché dici che non sei in quell'ipotesi? Il capitolo 3 del testo che hai citato, dove si trova la pagina 41 e le equazioni (49) e (50), si intitola proprio DEFINITIONS, PROPERTIES AND FOURIER TRANSFORMS OF PARTICULAR GENERALISED FUNCTIONS...
Perchè quell’uguaglianza deve valere per generalizzazioni di funzioni ordinarie, per cui quelli nella mia domanda sono integrali ordinari.
Beh, però "generalised functions" in inglese significa funzioni generalizzate, cioè praticamente un sinonimo di distribuzioni...
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