Uguaglianza - Differenziale di una f. composta
Siano $V\subset RR^k$ e $U \subset RR^n$; e siano $\phi : V -> U$ e $f : U -> RR$ due funzioni componibili e $C^1$ (insomma, abbastanza regolari...). Allora
\[ d( f \circ \phi) = \left ( \sum_{m = 1}^n \frac{\partial f}{\partial x_m} \circ \phi \right ) d \phi_m \]
Qualcuno può spiegarmi come si ottiene il secondo membro di questa uguaglianza?
Grazie.
\[ d( f \circ \phi) = \left ( \sum_{m = 1}^n \frac{\partial f}{\partial x_m} \circ \phi \right ) d \phi_m \]
Qualcuno può spiegarmi come si ottiene il secondo membro di questa uguaglianza?
Grazie.
Risposte
Ciao,A.:
và bene che i miei ricordi di Analisi II,nei dettagli,sono un pò lontani,
ma ad occhio e croce quella è la naturale estensione,
coinvolgente le matrici Jacobiane delle tue funzioni(il loro prodotto,direi..),
della regola di derivazione delle funzioni composte,scritta con la notazione liebnitziana,
nota da AnalisiI !
In altre parole,se ho ben capito il tuo problema,si tratta di verificare che
$EElim_(x to x_0)((f\circphi)(x)-(f circ phi)(x_0)-(J_f)(x_0)*J_phi[f(x_0)]*(x-x_0))/(|x-x_0|)=0$ $AAx_0inV$:
per farlo ti basta,ad occhio e per quel pò che ricordo,un pò di pazienza in conti che partono dalle definizioni
(che potresti allegerire introducendo la notazione classica della $omega_(z_0,g)$,
i.e. quella t.c.la differenziabilità in $z_0$ della generica $g$ è equivalente al fatto che $EElim_(z to z_0)omega_(z_0,g)=0$..),
ed una minorazione d'un modulo:
spero d'esserti stato utile.
Saluti dal web.
và bene che i miei ricordi di Analisi II,nei dettagli,sono un pò lontani,
ma ad occhio e croce quella è la naturale estensione,
coinvolgente le matrici Jacobiane delle tue funzioni(il loro prodotto,direi..),
della regola di derivazione delle funzioni composte,scritta con la notazione liebnitziana,
nota da AnalisiI !
In altre parole,se ho ben capito il tuo problema,si tratta di verificare che
$EElim_(x to x_0)((f\circphi)(x)-(f circ phi)(x_0)-(J_f)(x_0)*J_phi[f(x_0)]*(x-x_0))/(|x-x_0|)=0$ $AAx_0inV$:
per farlo ti basta,ad occhio e per quel pò che ricordo,un pò di pazienza in conti che partono dalle definizioni
(che potresti allegerire introducendo la notazione classica della $omega_(z_0,g)$,
i.e. quella t.c.la differenziabilità in $z_0$ della generica $g$ è equivalente al fatto che $EElim_(z to z_0)omega_(z_0,g)=0$..),
ed una minorazione d'un modulo:
spero d'esserti stato utile.
Saluti dal web.
Il problema veramente non è la dimostrazione della formula. Vorrei capire, nota la regola di differenziazione di una composizione di funzioni ( $d( f \circ \phi )(x) = d(f(\phi(x))) \cdot d \phi(x)$, l'unica che conosco ), come si ottiene la scrittura a secondo membro.
L'unica cosa che sono riuscito a ricavare è l'$i$-esima componente di $d( f \circ \phi )(x)$, cioè $\frac{\partial (f \circ \phi)}{\partial x_i}$:
\[ d( f \circ \phi )_i (x) = ( \nabla f(\phi(x)) \cdot d \phi(x) )_i = \sum_{m = 1}^n \frac{\partial f}{\partial y_m } \circ \phi (x) d \phi_{m, i}(x) \]
ove $d \phi_{m, i}$ è l'elemento corrispondente alla riga $m$-esima e colonna $i$-esima nella matrice jacobiana di $\phi$.
Ovviamente è diversa dall'uguaglianza scritta nel primo post. Non mi raccapezzo.
Ti ringrazio per la risposta.
L'unica cosa che sono riuscito a ricavare è l'$i$-esima componente di $d( f \circ \phi )(x)$, cioè $\frac{\partial (f \circ \phi)}{\partial x_i}$:
\[ d( f \circ \phi )_i (x) = ( \nabla f(\phi(x)) \cdot d \phi(x) )_i = \sum_{m = 1}^n \frac{\partial f}{\partial y_m } \circ \phi (x) d \phi_{m, i}(x) \]
ove $d \phi_{m, i}$ è l'elemento corrispondente alla riga $m$-esima e colonna $i$-esima nella matrice jacobiana di $\phi$.
Ovviamente è diversa dall'uguaglianza scritta nel primo post. Non mi raccapezzo.
Ti ringrazio per la risposta.
Facciamo i conti espliciti.
Abbiamo \(f\circ phi (x_1,\ldots ,x_k) = f(\phi^1(x_1,\ldots ,x_k),\ldots ,\phi^n (x_1,\ldots ,x_k))\), quindi:
\[
\begin{split}
\frac{\partial f\circ \phi}{\partial x_i} (x_1,\ldots ,x_k) &= \frac{\partial f}{\partial y_1}(\phi^1(x_1,\ldots ,x_k))\ \frac{\partial \phi^1}{\partial x_i} (x_1,\ldots ,x_k) +\cdots + \frac{\partial f}{\partial y_n}(\phi^n(x_1,\ldots ,x_k))\ \frac{\partial \phi^n}{\partial x_i} (x_1,\ldots ,x_k)\\
&= \left\langle \nabla_y f (y) \Big|_{y=\phi (x)}, \frac{\partial \phi}{\partial x_i} (x) \right\rangle\; ;
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\nabla_x f\circ \phi (x) &= \nabla_y f (y) \Big|_{y=\phi (x)}\cdot \frac{\partial (\phi^1,\ldots ,\phi^n)}{\partial (x_1,\ldots, x_k)}
\end{split}
\]
con il prodotto riga-colonna, quindi:
\[
\text{d} f\circ \phi = \nabla f(\phi (x))\cdot \frac{\partial (\phi^1,\ldots ,\phi^n)}{\partial (x_1,\ldots, x_k)}(x)\cdot \text{d} x
\]
sempre col prodotto riga-colonna e \(\text{d} x:= (\text{d} x_1,\ldots ,\text{d} x_k)\).
Ah... Mi accorgo di aver una notazione un po' desueta, quindi la spiego.
Il simbolo:
\[
\frac{\partial (\phi^1,\ldots ,\phi^n)}{\partial (x_1,\ldots, x_k)}
\]
denota la matrice di dimensioni \(n\times k\) ottenuta giustapponendo come righe i gradienti delle \(\phi^1,\ldots ,\phi^n\), cioè la matrice jacobiana della trasformazione \(\phi\).
Abbiamo \(f\circ phi (x_1,\ldots ,x_k) = f(\phi^1(x_1,\ldots ,x_k),\ldots ,\phi^n (x_1,\ldots ,x_k))\), quindi:
\[
\begin{split}
\frac{\partial f\circ \phi}{\partial x_i} (x_1,\ldots ,x_k) &= \frac{\partial f}{\partial y_1}(\phi^1(x_1,\ldots ,x_k))\ \frac{\partial \phi^1}{\partial x_i} (x_1,\ldots ,x_k) +\cdots + \frac{\partial f}{\partial y_n}(\phi^n(x_1,\ldots ,x_k))\ \frac{\partial \phi^n}{\partial x_i} (x_1,\ldots ,x_k)\\
&= \left\langle \nabla_y f (y) \Big|_{y=\phi (x)}, \frac{\partial \phi}{\partial x_i} (x) \right\rangle\; ;
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\nabla_x f\circ \phi (x) &= \nabla_y f (y) \Big|_{y=\phi (x)}\cdot \frac{\partial (\phi^1,\ldots ,\phi^n)}{\partial (x_1,\ldots, x_k)}
\end{split}
\]
con il prodotto riga-colonna, quindi:
\[
\text{d} f\circ \phi = \nabla f(\phi (x))\cdot \frac{\partial (\phi^1,\ldots ,\phi^n)}{\partial (x_1,\ldots, x_k)}(x)\cdot \text{d} x
\]
sempre col prodotto riga-colonna e \(\text{d} x:= (\text{d} x_1,\ldots ,\text{d} x_k)\).
Ah... Mi accorgo di aver una notazione un po' desueta, quindi la spiego.
Il simbolo:
\[
\frac{\partial (\phi^1,\ldots ,\phi^n)}{\partial (x_1,\ldots, x_k)}
\]
denota la matrice di dimensioni \(n\times k\) ottenuta giustapponendo come righe i gradienti delle \(\phi^1,\ldots ,\phi^n\), cioè la matrice jacobiana della trasformazione \(\phi\).
In sostanza, \[ d(f \circ \phi)(x) = \langle \;\nabla ( f \circ \phi )(x) \;,\; d \vec{x} \;\rangle \]
perciò
\[ \nabla( f \circ \phi )(x) = \left ( \frac{\partial f}{\partial y_1} \circ \phi(x), \dots , \frac{\partial f}{\partial y_N} \circ \phi(x) \right )\; \cdot\; \left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial \phi_1}{\partial x_1} (x) & \dots & \frac{\partial \phi_1}{\partial x_P} (x) \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\partial \phi_N}{\partial x_1} (x) & \dots & \frac{\partial \phi_N}{\partial x_P} (x)\end{array} \right) \]
\[ = \left ( \sum_{k = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial y_k} \circ \phi(x) \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i} \right )_{i \in \{1, ... , P \} }\]
Pongo $d \vec{x} = ( dx_1 , ... , dx_N )$. Allora
\[ d(f \circ \phi)(x) = \langle \;\nabla ( f \circ \phi )(x) \;,\; d \vec{x} \;\rangle = \sum_{i = 1}^P \left ( \sum_{k = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial y_k} \circ \phi(x) \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i} \right ) dx_i = \]
\[ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sum_{k = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial y_k} \circ \phi(x) \underbrace{\sum_{i = 1}^P \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i} dx_i }_{d \phi_k (x)} = \sum_{k = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial y_k} \circ \phi(x) d \phi_k (x)\]
Secondo te vanno bene questi conti? Penso sia il ragionamento che hai svolto tu... Grazie in anticipo.
Scusami in anticipo se rispondo ad una domanda con un'altra domanda... Ma a che ti servono questi conti?
Non è che stai cercando una base dei fibrati associati a qualche varietà?
Ad ogni modo, i conti che fai alla fine sono giusti (anche se hai cambiato i nomi delle dimensioni degli spazi!).
Non è che stai cercando una base dei fibrati associati a qualche varietà?
Ad ogni modo, i conti che fai alla fine sono giusti (anche se hai cambiato i nomi delle dimensioni degli spazi!).
Grazie infinite, sul serio. 
No, questi calcoli entrano in ballo con le forme differenziali, nelle dimostrazioni di alcune proprietà dei pull-back (utili per dimostrare la formula di Stokes-Cartan).
No, questi calcoli entrano in ballo con le forme differenziali, nelle dimostrazioni di alcune proprietà dei pull-back (utili per dimostrare la formula di Stokes-Cartan).
Vabbé, siamo davvero lì... 
Purtroppo non ho mai sentito parlare di fibrati.
... Ma ora mi hai incuriosito...
... Ma ora mi hai incuriosito...
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