Uguaglianza di integrali curvilinei
Salve a tutti.
Ho il seguente insieme $E$ (in due casi)
nel quale la f.d. $omega$ è ivi esatta.
Nel caso a), l'integrale che calcolo lungo la spezzata $gamma_a$, vale
$ int_(gamma_a)^() omega = int_(x_0)^(x) F_1(t;y_0) dt + int_(y_0)^(y) F_2(x;t) dt $.
Nel caso b), invece, l'integrale che calcolo lungo la spezzata $gamma_b$, vale
$ int_(gamma_b)^() omega = int_(x_0)^(x) F_1(t;y) dt + int_(y_0)^(y) F_2(x_0;t) dt $.
In base ad un noto risultato, i due integrali calcolati dovrebbero essere uguali. Però, osservandoli, nessuno mi garantisce che
$F_1(t;y_0) = F_1(t;y)$ e $F_2(x;t) = F_2(x_0;t)$.
Allora mi sorge il dubbio che abbia sbagliato a calcolare i due integrali curvilinei; oppure che le ultime due uguaglianze che ho scritto sono vere, ma dai dati in mio possesso (che sono solo quelli che ho scritto qui) non riesco a capire che perché tali uguaglianze valgono.
Grazie a tutti
Ho il seguente insieme $E$ (in due casi)
nel quale la f.d. $omega$ è ivi esatta.
Nel caso a), l'integrale che calcolo lungo la spezzata $gamma_a$, vale
$ int_(gamma_a)^() omega = int_(x_0)^(x) F_1(t;y_0) dt + int_(y_0)^(y) F_2(x;t) dt $.
Nel caso b), invece, l'integrale che calcolo lungo la spezzata $gamma_b$, vale
$ int_(gamma_b)^() omega = int_(x_0)^(x) F_1(t;y) dt + int_(y_0)^(y) F_2(x_0;t) dt $.
In base ad un noto risultato, i due integrali calcolati dovrebbero essere uguali. Però, osservandoli, nessuno mi garantisce che
$F_1(t;y_0) = F_1(t;y)$ e $F_2(x;t) = F_2(x_0;t)$.
Allora mi sorge il dubbio che abbia sbagliato a calcolare i due integrali curvilinei; oppure che le ultime due uguaglianze che ho scritto sono vere, ma dai dati in mio possesso (che sono solo quelli che ho scritto qui) non riesco a capire che perché tali uguaglianze valgono.
Grazie a tutti
Risposte
"brownbetty":
In base ad un noto risultato, i due integrali calcolati dovrebbero essere uguali. Però, osservandoli, nessuno mi garantisce che
$ F_1(t;y_0) = F_1(t;y) $ e $ F_2(x;t) = F_2(x_0;t) $.
Ciao.
Il fatto che due integrali, calcolati sullo stesso intervallo, di due funzioni siano coincidenti, non implica affatto che le due funzioni integrande coincidano tra loro, cioè, avendo, in generale
$int_a^b f(x)dx=int_a^b g(x)dx$ (con $f(x)$ e $g(x)$ continue)
ciò non implica che $f(x)=g(x)$.
Esempio:
$int_0^1 1dx=int_0^1 2xdx$, ma $1!=2x$.
Non so se il mio intervento ti possa essere stato utile e non so se io abbia "centrato" il tuo problema.
Saluti.
Ciao,
si hai centrato il problema.
Quindi, calcolando separatamente quei due integrali curvilinei, con i dati che ho scritto all'inizio, è impossibile dire che tali integrali curvilinei sono uguali, senza far uso del noto teorema che stabilisce la loro uguaglianza (visto che le due curve hanno gli stessi estremi e la stessa orientazione). Giusto ? Diciamo che stavo cercando una verifica "particolare" (in questo esempio) di un fatto "generale" (del teorema citato).
Grazie!
si hai centrato il problema.
Quindi, calcolando separatamente quei due integrali curvilinei, con i dati che ho scritto all'inizio, è impossibile dire che tali integrali curvilinei sono uguali, senza far uso del noto teorema che stabilisce la loro uguaglianza (visto che le due curve hanno gli stessi estremi e la stessa orientazione). Giusto ? Diciamo che stavo cercando una verifica "particolare" (in questo esempio) di un fatto "generale" (del teorema citato).
Grazie!
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
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