Uguaglianza bolle
buongiorno, non riesco a risolvere il seguente esercizio
sia $B(0,k)={x | ||x||< k}$
devo dimostrare che $B(0,r)-B(0,s)=B(0,r+s)$
chiaramente, per la disuguaglianza triangolare $B(0,r)-B(0,s) sube B(0,r+s)$
per il viceversa, sia $ x in B(0,r+s)$, allora
$(rx)/(r+s) in B(0,r)$ mentre
$(sx)/(r+s) in B(0,s)$
ma non riesco a capire come mostrare che
$B(0,r+s) sube B(0,r)-B(0,s)$
grazie
sia $B(0,k)={x | ||x||< k}$
devo dimostrare che $B(0,r)-B(0,s)=B(0,r+s)$
chiaramente, per la disuguaglianza triangolare $B(0,r)-B(0,s) sube B(0,r+s)$
per il viceversa, sia $ x in B(0,r+s)$, allora
$(rx)/(r+s) in B(0,r)$ mentre
$(sx)/(r+s) in B(0,s)$
ma non riesco a capire come mostrare che
$B(0,r+s) sube B(0,r)-B(0,s)$
grazie
Risposte
Infatti quello che stai cercando di dimostrare è falso.
$rx/(r+s)-(-sx/(r+s))=x$.
Grazie otta96, tutto torna adesso
Ma quello che vuoi dimostrare resta falso!
Ma perchè dici che è falso? A me sembra vero...
A meno che non intendi che non ha chiarito bene il contesto ma mi sembra chiaro che si sta parlando di uno spazio (almeno) normato, e l'insieme a sinistra è l'insieme delle possibili differenze tra elementi di quegli insiemi e in questo caso è vero.
A meno che non intendi che non ha chiarito bene il contesto ma mi sembra chiaro che si sta parlando di uno spazio (almeno) normato, e l'insieme a sinistra è l'insieme delle possibili differenze tra elementi di quegli insiemi e in questo caso è vero.
La differenza insiemistica \(B(0,r)\setminus B(0,s)\) è vuota se $s>r$ ed è una corona circolare di ampiezza \(r-s\) altrimenti. Non è una palla.
l'insieme a sinistra è l'insieme delle possibili differenze tra elementi di quegli insiemi.E questa notazione viene da dove, dal monte Sinai?
È la notazione normale della differenza.
Non esiste "notazione normale" per altra differenza che non sia la differenza insiemistica; anche perché ok in \(\mathbb R^n\), ma in uno spazio metrico qualsiasi la scrittura \(B(0,r)\setminus B(0,s)\) ha senso comunque, ma non c'è nessuna operazione di differenza tra punti da estendere ai sottoinsiemi, con cui interpretarla nel modo che dici tu.
La notazione normale della differenza è $x-y$, nessuno scrive $-(x,y)$, se vuoi fare l'immagine di insiemi di questa funzione scrivi $A-B$, è veramente comunissima.
Non stai capendo quello che ho detto, e peggio ancora pensi che io non capisca quello che dici tu: ogni operazione (diciamo) binaria \(\odot : A\times A \to A\) si estende a una operazione binaria all'insieme delle parti di \(A\), ponendo \(U\odot V := \{u\odot v\mid u\in U, v\in V\}\), allo stesso modo in cui si definisce la somma di Minkowski. Questo è pacifico.
Ora, però, in assoluta generalità, in uno spazio metrico non c'è nessuna operazione binaria su cui definire la somma di Minkowski sulle palle (aperte, in questo caso). Senz'altro aggiungere, quindi, scrivere \(B(0,r)-B(0,s)\) indica la differenza insiemistica, non la somma (la differenza, in questo caso) di Minkowski. Se, poi, per qualche motivo, non è questa l'operazione da considerare, è OP ad avere l'onere di spiegarsi meglio: è uno dei mille motivi per cui la notazione va spiegata, e desumerla dal contesto genera sempre litigi e mal di pancia.
Ora, però, in assoluta generalità, in uno spazio metrico non c'è nessuna operazione binaria su cui definire la somma di Minkowski sulle palle (aperte, in questo caso). Senz'altro aggiungere, quindi, scrivere \(B(0,r)-B(0,s)\) indica la differenza insiemistica, non la somma (la differenza, in questo caso) di Minkowski. Se, poi, per qualche motivo, non è questa l'operazione da considerare, è OP ad avere l'onere di spiegarsi meglio: è uno dei mille motivi per cui la notazione va spiegata, e desumerla dal contesto genera sempre litigi e mal di pancia.
"otta96":
La notazione normale della differenza è $x-y$, nessuno scrive $-(x,y)$, se vuoi fare l'immagine di insiemi di questa funzione scrivi $A-B$, è veramente comunissima.
Riflettiamo: secondo questa tua affermazione, $RR-\{0\}=RR$.
Tuttavia, se io in un esercizio ti scrivo $RR-\{0}$, suppongo tu pensi ad un insieme sconnesso, non tanto alle possibili differenze tra i reali e zero.
Concordo con @megas_archon
"Lebesgue":
[quote="otta96"]La notazione normale della differenza è $x-y$, nessuno scrive $-(x,y)$, se vuoi fare l'immagine di insiemi di questa funzione scrivi $A-B$, è veramente comunissima.
Riflettiamo: secondo questa tua affermazione, $RR-\{0\}=RR$.
Tuttavia, se io in un esercizio ti scrivo $RR-\{0}$, suppongo tu pensi ad un insieme sconnesso, non tanto alle possibili differenze tra i reali e zero.
Concordo con @megas_archon[/quote]
Eppure anche al mio docente l'ha intesa in quel modo: ad esempio per lui
$A-A :={s-k | s in A, k in A}$
Okay, però immagino vi abbia specificato cosa indica quella notazione.
Ovviamente qui nessuno ce l'ha con te, assolutamente.
Ciò che stiamo dicendo è solamente che, se non diversamente specificato, in genere una persona qualsiasi interpreta la notazione $A-B$ come differenza insiemistica, e non come le possibili differenze di elementi dei due insiemi.
Ovviamente qui nessuno ce l'ha con te, assolutamente.
Ciò che stiamo dicendo è solamente che, se non diversamente specificato, in genere una persona qualsiasi interpreta la notazione $A-B$ come differenza insiemistica, e non come le possibili differenze di elementi dei due insiemi.
"Lebesgue":
Okay, però immagino vi abbia specificato cosa indica quella notazione.
Ovviamente qui nessuno ce l'ha con te, assolutamente.
Ciò che stiamo dicendo è solamente che, se non diversamente specificato, in genere una persona qualsiasi interpreta la notazione $A-B$ come differenza insiemistica, e non come le possibili differenze di elementi dei due insiemi.
Capito il "disguido".
Alla fine ci siamo intesi e con quella notazione la tesi torna
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo