Uguaglianza

[assoluti]

Dimostrare che esiste uno ed un solo numero reale x tale che la seguente uguaglianza è soddisfatta:
arctan(e^x)+arctan x = pi/4

Stavolta non so neanche da dove iniziare!
grazie ancora =)
Ivano

[Sk_Anonymous]

Applicando la tangente ad ambo i membri si ha:
tg(arctan(e^x)+arctan(x))=1
A primo membro si applica la formula
tang(alfa+beta)=(tang(alfa)+tang(beta))/(1+tang(alfa)*tang(beta)).
In questo caso:
(e^x+x)/(1+x*e^x)=1
ovvero:
e^x+x=1+x*e^x
e^x+x-1-x*e^x=0
e raccogliendo a fattor comune tra 1° e 4° termine e tra 2° e 3°:
(x-1)-e^x(x-1)=0 cioe':
(x-1)(1-e^x)=0 ovvero:
x=1 da scartare perche' non soddisfa l'equazione
e^x=1--->x=0 che l'unica soluzione possibile.
karl.

[fireball1]

arctan(e^x)+arctan(x)=pi/4
Al primo e al secondo membro compaiono angoli.
Calcoliamo la tangente degli angoli al primo e al secondo membro:
tan(arctan(e^x)+arctan(x))=1
Per le formule di addizione della tangente:
(e^x+x)/(1-x•e^x)=1
Perciò:
e^x+x=1-x•e^x
x•e^x+e^x+x-1=0
Questa va risolta graficamente. Dopo aver fatto il grafico
della funzione, si vede che l'unico punto in cui essa interseca
l'asse delle ascisse è l'origine, perciò x=0 è l'unica soluzione.
Facciamo una verifica sostituendo 0 nell'equazione iniziale:
arctan(e^0)+arctan(0)=pi/4
arctan(1)=pi/4
perciò ecco verificata l'uguaglianza.

Modifica:
Hey karl hai postato insieme a me! Vedo anche che hai seguito
il mio stesso procedimento... Comunque sia c'è una svista
nella tua soluzione. La formula della tangente di due angoli
è infatti tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)


Modificato da - fireball il 18/01/2004 19:49:02

[Sk_Anonymous]

Per Fireball .
Giusto!.La fretta e' sempre una cattiva
consigliera.Ti ringrazio.
karl.

[fireball1]

citazione:

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La fretta e' sempre una cattiva
consigliera.

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A chi lo dici !