Uguaglianza

[Lyra1]

$ a^(n)-b^(n)= (a-b)*(a^(n-1)+a^(n-2)b+b^(n-1)) $ perché?

[pilloeffe]

"Lyra": perché?

Perché no, infatti è errata...

$a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + b^1 a^{n - 2} + b^2 a^{n - 2} + ... + b^{n - 2} a^1 + b^{n - 1}) $
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - b^1 a^{n - 2} + b^2 a^{n - 2} + ... - b^{n - 2} a^1 + b^{n - 1}) $

Ci sono molti modi di dimostrarle, uno anche con la somma di una progressione geometrica di ragione $x$ con opportuna posizione...

[Ernesto011]

"Lyra":$ a^(n)-b^(n)= (a-b)*(a^(n-1)+a^(n-2)b+b^(n-1)) $ perché?

Forse volevi scrivere:
$(a-b)*(a^(n-1)+a^(n-2)b+...+ab^(n-2)
+b^(n-1))$

Prova a far vedere che per ogni elemento di quello sviluppo c'è anche lo stesso elemento con segno opposto, e quindi alla fine rimane solo $a^n$ e $b^n$.

Scusami Pilloeffe, non avevo visto la risposta

[pilloeffe]

Ciao Ernesto01,

"Ernesto01":Scusami Pilloeffe, non avevo visto la risposta

Ma di niente, figurati, tanto più che siamo sulla stessa linea...

Riporto la dimostrazione che ho citato. Si parte dalla somma di una progressione geometrica:

$ 1 + x + x^2 + ... + x^{n - 1} = sum_{k = 0}^{n - 1} x^k = frac{1 - x^n}{1 - x} $

Posto $x := a/b $, si ottiene:

$ 1 + a/b + (a/b)^2 + ... + (a/b)^{n - 1} = frac{1 - (a/b)^n}{1 - a/b} = frac{frac{a^n - b^n}{b^n}}{frac{a - b}{b}} = frac{a^n - b^n}{b^{n - 1} (a - b)}$

Moltiplicando ambo i membri per $b^{n - 1} (a - b) $ si ottiene proprio la relazione cercata:

$a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n-2} b + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) $