[Tutorial] I simboli di Landau
In seguito alle richieste di qualche utente e di qualche moderatore, riporto le definizioni e le proprietà fondamentali dei famosi (e famigerati) simboli di Landau, i.e. quello denotati dalle quattro letterine [tex]$\text{O}$[/tex], [tex]$\text{o}$[/tex], [tex]$\Omega$[/tex] e [tex]$\Theta$[/tex].
*** Disclaimer ***
Quanto scritto di seguito non ha nessuna pretesa di completezza.
Chi fosse interessato ad approfondire la questione può consultare un qualsiasi vecchio testo (leggi: libro per i vecchi ordinamenti) di Analisi I.
Parimenti quanto scritto non sarà scevro da errori.
Chiunque volesse segnalarli può mandarmi un PM.
*** Notazioni, terminologia ed indicazioni generali ***
In quanto segue si suppone, a meno che non venga esplicitamente scritto il contrario, che:
- [tex]$X,Y,Z,T$[/tex] siano sottoinsiemi non vuoti di uno spazio topologico [tex]$S$[/tex] (in particolare di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] o [tex]$\mathbb{C}$[/tex]);
- [tex]$f:X\to \mathbb{R}$[/tex], [tex]$g:Y\to \mathbb{R}$[/tex], [tex]$h:Z\to \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$k:T\to \mathbb{R}$[/tex];
- [tex]$x_0$[/tex] sia un punto di accumulazione per [tex]$X\cap Y\cap Z\cap T$[/tex]; in particolare, se [tex]$X,Y,Z,T\subseteq \mathbb{R}$[/tex], il punto [tex]$x_0$[/tex] potrà essere indifferentemente al finito (i.e. [tex]$x_0\in \mathbb{R}$[/tex]) od all'infinito (i.e. [tex]$x_0=\pm \infty$[/tex]).
Sia [tex]$\mathcal{P}$[/tex] una proprietà che coinvolge la funzione [tex]$f$[/tex]; con la locuzione:
"la proprietà [tex]$\mathcal{P}$[/tex] è verificata definitivamente intorno ad [tex]$x_0$[/tex]"
si intende che esiste un intorno [tex]$I(x_0)$[/tex] di [tex]$x_0$[/tex] in [tex]$S$[/tex] tale che la proprietà [tex]$\mathcal{P}$[/tex] valga per ogni [tex]$x\in I(x_0)\cap X\setminus \{ x_0\}$[/tex].
Evidentemente, se la proprietà [tex]$\mathcal{P}$[/tex] coinvolge le funzioni [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex], la locuzione di cui sopra significa che esiste un intorno [tex]$I(x_0)$[/tex] di [tex]$x_0$[/tex] in [tex]$S$[/tex] tale che la proprietà [tex]$\mathcal{P}$[/tex] valga per ogni [tex]$x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\}$[/tex]... E così via se nella [tex]$\mathcal{P}$[/tex] intervengono altre funzioni.
Ad esempio, dire:
"Il prodotto [tex]$f(x)g(x)$[/tex] è definitivamente limitato intorno ad [tex]$x_0$[/tex]"
equivale a dire che:
"esiste un intorno [tex]$I(x_0)$[/tex] tale che [tex]$f(x)g(x)$[/tex] è limitata in [tex]$I(x_0)\cap X\cap Y$[/tex]"
od, ancora più esplicitamente:
"esiste un intorno [tex]$I(x_0)$[/tex] ed esiste una costante [tex]$M\geq 0$[/tex] tale che, per ogni [tex]$x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\}$[/tex], risulta [tex]$|f(x) g(x)|\leq M$[/tex]".
Le dimostrazioni finiscono con il solito [tex]$\square$[/tex].
La fine delle osservazioni è marcata dal simbolo [tex]$\diamondsuit$[/tex].
La fine di un esempio è segnata con [tex]$\spadesuit$[/tex].
*** Disclaimer ***
Quanto scritto di seguito non ha nessuna pretesa di completezza.
Chi fosse interessato ad approfondire la questione può consultare un qualsiasi vecchio testo (leggi: libro per i vecchi ordinamenti) di Analisi I.
Parimenti quanto scritto non sarà scevro da errori.
Chiunque volesse segnalarli può mandarmi un PM.
*** Notazioni, terminologia ed indicazioni generali ***
In quanto segue si suppone, a meno che non venga esplicitamente scritto il contrario, che:
- [tex]$X,Y,Z,T$[/tex] siano sottoinsiemi non vuoti di uno spazio topologico [tex]$S$[/tex] (in particolare di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] o [tex]$\mathbb{C}$[/tex]);
- [tex]$f:X\to \mathbb{R}$[/tex], [tex]$g:Y\to \mathbb{R}$[/tex], [tex]$h:Z\to \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$k:T\to \mathbb{R}$[/tex];
- [tex]$x_0$[/tex] sia un punto di accumulazione per [tex]$X\cap Y\cap Z\cap T$[/tex]; in particolare, se [tex]$X,Y,Z,T\subseteq \mathbb{R}$[/tex], il punto [tex]$x_0$[/tex] potrà essere indifferentemente al finito (i.e. [tex]$x_0\in \mathbb{R}$[/tex]) od all'infinito (i.e. [tex]$x_0=\pm \infty$[/tex]).
Sia [tex]$\mathcal{P}$[/tex] una proprietà che coinvolge la funzione [tex]$f$[/tex]; con la locuzione:
"la proprietà [tex]$\mathcal{P}$[/tex] è verificata definitivamente intorno ad [tex]$x_0$[/tex]"
si intende che esiste un intorno [tex]$I(x_0)$[/tex] di [tex]$x_0$[/tex] in [tex]$S$[/tex] tale che la proprietà [tex]$\mathcal{P}$[/tex] valga per ogni [tex]$x\in I(x_0)\cap X\setminus \{ x_0\}$[/tex].
Evidentemente, se la proprietà [tex]$\mathcal{P}$[/tex] coinvolge le funzioni [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex], la locuzione di cui sopra significa che esiste un intorno [tex]$I(x_0)$[/tex] di [tex]$x_0$[/tex] in [tex]$S$[/tex] tale che la proprietà [tex]$\mathcal{P}$[/tex] valga per ogni [tex]$x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\}$[/tex]... E così via se nella [tex]$\mathcal{P}$[/tex] intervengono altre funzioni.
Ad esempio, dire:
"Il prodotto [tex]$f(x)g(x)$[/tex] è definitivamente limitato intorno ad [tex]$x_0$[/tex]"
equivale a dire che:
"esiste un intorno [tex]$I(x_0)$[/tex] tale che [tex]$f(x)g(x)$[/tex] è limitata in [tex]$I(x_0)\cap X\cap Y$[/tex]"
od, ancora più esplicitamente:
"esiste un intorno [tex]$I(x_0)$[/tex] ed esiste una costante [tex]$M\geq 0$[/tex] tale che, per ogni [tex]$x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\}$[/tex], risulta [tex]$|f(x) g(x)|\leq M$[/tex]".
Le dimostrazioni finiscono con il solito [tex]$\square$[/tex].
La fine delle osservazioni è marcata dal simbolo [tex]$\diamondsuit$[/tex].
La fine di un esempio è segnata con [tex]$\spadesuit$[/tex].
Risposte
Cominciamo il nostro excursus dal simbolo [tex]$\text{O}$[/tex], che si legge "o grande".
Diamo la definizione:
La (1) vuol dire che, per ogni [tex]$x\in X\cap Y$[/tex] sufficientemente vicino ad [tex]$x_0$[/tex], la grandezza [tex]$|f(x)|$[/tex] si può maggiorare con una grandezza direttamente proporzionale a [tex]$|g(x)|$[/tex] mediante un'opportuna costante di proporzionalità [tex]$M$[/tex], la quale in generale non può diventare "arbitrariamente piccola" (cfr. con il post sul simbolo [tex]$\text{o}$[/tex]).
Notiamo esplicitamente che non abbiamo posto alcuna restrizione al comportamento di [tex]$f(x)$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] intorno ad [tex]$x_0$[/tex]; in particolare [tex]$f(x)$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] possono anche non essere limitate intorno ad [tex]$x_0$[/tex]. Tuttavia, se [tex]$f(x)$[/tex] è limitata intorno ad [tex]$x_0$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] non lo è, allora la stima fornita dalla (1) diventa poco significativa.
Osservazione: Dalla definizione appena data si desume immediatamente che il simbolo [tex]$\text{O}_{x_0} (1)$[/tex] può essere usato per denotare le funzioni definitivamente limitate intorno ad [tex]$x_0$[/tex].
Infatti, sostituendo [tex]$g(x)=1$[/tex] in (1), troviamo che [tex]$f(x)$[/tex] è limitata in un intorno di [tex]$x_0$[/tex]. [tex]$\diamondsuit$[/tex]
Osservazione Importante: Se la funzione [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno ad [tex]$x_0$[/tex] (il che vuol dire che esiste un intorno [tex]$J(x_0)$[/tex] tale che [tex]$g(x)\neq 0$[/tex] per [tex]$x\in J(x_0)\cap Y\setminus \{ x_0\}$[/tex]), la (1) equivale a dire che il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)}$[/tex] si mantiene definitivamente limitato intorno ad [tex]$x_0$[/tex], ossia che risulta:
[tex]$\limsup_{x\to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| <+\infty$[/tex];
ciò si dimostra, semplicemente, notando che nelle ipotesi poste si può dividere membro a membro per [tex]$|g(x)|$[/tex] in (1) ottenendo:
[tex]$\exists M \geq 0 :\ \left| \frac{f(x)}{g(x)}\right| \leq M\ \text{definitivamente intorno ad } x_0$[/tex]. [tex]$\diamondsuit$[/tex]
In particolare, dall'Osservazione Importante segue immediatamente il:
Tale criterio è una condizione sufficiente ma tutt'altro che necessaria all'essere [tex]$f(x)=\text{O} (g(x))\ \text{in } x_0$[/tex]: infatti il viceversa non è in generale vero, come mostra il seguente:
Controesempio: Siano:
[tex]$f(x):= \begin{cases} x-1 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex],
[tex]$g(x):=\begin{cases} 2(x-1) &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex]
definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0=0$[/tex].
Evidentemente è [tex]$f(x)=\text{O} (g(x))\ \text{in } 0$[/tex] (infatti basta prendere [tex]$M=1$[/tex] per verificare la (1) addirittura ovunque in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]).
Tuttavia [tex]$g(x)$[/tex] non è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex] ed il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)}$[/tex] non è definito in alcun intorno di [tex]$0$[/tex], perciò il limite [tex]$\lim_{x\to 0} \tfrac{f(x)}{g(x)}$[/tex] non può nemmeno essere calcolato.
Esempi:
A. Siano [tex]$f(x):=x^{101}$[/tex] e [tex]$g(x):=x$[/tex] definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0:=0$[/tex] (che è di accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Per note proprietà degli esponenziali e del valore assoluto, troviamo che:
[tex]$\forall x\in ]-1,1[,\ |x^{101}|=|x|^{101}\leq |x|$[/tex],
pertanto la (1) è verificata se prendiamo [tex]$I(0)=]-1,1[$[/tex] ed [tex]$M=1\geq 0$[/tex]; ne consegue che [tex]$x^{101} =\text{O}(x)\ \text{in } 0$[/tex]. [tex]$\spadesuit$[/tex]
B. Siano [tex]$f(x):=x$[/tex] e [tex]$g(x):=\sin x$[/tex] definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0:=0$[/tex] (che è di accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Visto che [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex] (difatti basta prendere [tex]$J(x_0)=]-\pi ,\pi[$[/tex]), si può formare il rapporto [tex]$\tfrac{x}{\sin x}$[/tex] definito in un opportuno intorno di [tex]$0$[/tex] privato di [tex]$0$[/tex] stesso; tale rapporto ha limite finito in [tex]$0$[/tex] (tale limite essendo [tex]$=1$[/tex]), e dal Criterio della [tex]$\text{O}$[/tex] segue immediatamente che [tex]$x=\text{O}(\sin x)\ \text{in } 0$[/tex].
D'altra parte, scegliamo [tex]$x_0=+\infty$[/tex] (che è d'accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Comunque vogliamo scegliere [tex]$M\geq 0$[/tex] grande, esiste sempre un intorno di [tex]$+\infty$[/tex] in cui riesce [tex]$|f(x)|=|x|>2M>M\ |\sin x|=M\ |g(x)|$[/tex] (basta prendere [tex]$I(+\infty) =]2M,+\infty[$[/tex]), pertanto in questo caso non ci sarà possibile verificare la (1) per nessun [tex]$M\geq 0$[/tex]; ne consegue che [tex]$x\neq \text{O}(\sin x)\ \text{in } +\infty$[/tex]. [tex]$\spadesuit$[/tex]
C. Siano [tex]$f(x):=x^2$[/tex] e [tex]$g(x):=x^2\ln x$[/tex] definite rispettivamente in [tex]$X=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$Y=]0,+\infty[$[/tex] e sia [tex]$x_0:=+\infty$[/tex] (che è di accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Per note proprietà del logaritmo si ha [tex]$\ln x>1$[/tex] per [tex]$x\in ]e,+\infty[$[/tex], ergo risulta:
[tex]$\forall x\in ]e,+\infty[,\ |x^2|\leq |x^2\ln x|$[/tex],
perciò la (1) è verificata quando prendiamo [tex]$I(+\infty)=]e,+\infty[$[/tex] ed [tex]$M=1$[/tex]; ne consegue che [tex]$x^2=\text{O}(x^2\ln x)\ \text{in } +\infty $[/tex].
Analogamente se scegliamo [tex]$x_0=0$[/tex], la funzione [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex] e si può formare il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)}=\tfrac{1}{\ln x}$[/tex]; tale rapporto ha limite finito in [tex]$0$[/tex] (tale limite essendo [tex]$=0$[/tex]), pertanto si ha [tex]$x^2=\text{O}(x^2\ln x)\ \text{in } 0$[/tex] per il Criterio della [tex]$\text{O}$[/tex]. [tex]$\spadesuit$[/tex]
Il simbolo [tex]$\text{O}$[/tex] gode di alcune importanti "proprietà algberiche", che richiamiamo qui sotto:
Tali proprietà si dimostrano applicando direttamente la definizione.
Le proprietà i)-iv) si possono esprimere più sinteticamente come segue:
Diamo la definizione:
Diciamo che [tex]$f(x)$[/tex] è un [tex]$\text{O}$[/tex] di [tex]$g(x)$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] se:
(1) [tex]$\exists M > 0 :\ |f(x)| \leq M \ |g(x)|\ \text{de} \text{finitivamente intorno ad } x_0$[/tex],
ossia se:
[tex]$\exists M> 0,\ \exists I(x_0)\ \text{intorno di } x_0:\ \forall x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\},\ |f(x)|\leq M\ |g(x)|$[/tex];
in tal caso scriviamo:
[tex]$f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x))$[/tex] oppure [tex]$f(x)=\text{O}(g(x))\ \text{in } x_0$[/tex]
(il punto [tex]$x_0$[/tex] può anche essere omesso se ciò non crea ambiguità).
La (1) vuol dire che, per ogni [tex]$x\in X\cap Y$[/tex] sufficientemente vicino ad [tex]$x_0$[/tex], la grandezza [tex]$|f(x)|$[/tex] si può maggiorare con una grandezza direttamente proporzionale a [tex]$|g(x)|$[/tex] mediante un'opportuna costante di proporzionalità [tex]$M$[/tex], la quale in generale non può diventare "arbitrariamente piccola" (cfr. con il post sul simbolo [tex]$\text{o}$[/tex]).
Notiamo esplicitamente che non abbiamo posto alcuna restrizione al comportamento di [tex]$f(x)$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] intorno ad [tex]$x_0$[/tex]; in particolare [tex]$f(x)$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] possono anche non essere limitate intorno ad [tex]$x_0$[/tex]. Tuttavia, se [tex]$f(x)$[/tex] è limitata intorno ad [tex]$x_0$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] non lo è, allora la stima fornita dalla (1) diventa poco significativa.
Osservazione: Dalla definizione appena data si desume immediatamente che il simbolo [tex]$\text{O}_{x_0} (1)$[/tex] può essere usato per denotare le funzioni definitivamente limitate intorno ad [tex]$x_0$[/tex].
Infatti, sostituendo [tex]$g(x)=1$[/tex] in (1), troviamo che [tex]$f(x)$[/tex] è limitata in un intorno di [tex]$x_0$[/tex]. [tex]$\diamondsuit$[/tex]
Osservazione Importante: Se la funzione [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno ad [tex]$x_0$[/tex] (il che vuol dire che esiste un intorno [tex]$J(x_0)$[/tex] tale che [tex]$g(x)\neq 0$[/tex] per [tex]$x\in J(x_0)\cap Y\setminus \{ x_0\}$[/tex]), la (1) equivale a dire che il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)}$[/tex] si mantiene definitivamente limitato intorno ad [tex]$x_0$[/tex], ossia che risulta:
[tex]$\limsup_{x\to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| <+\infty$[/tex];
ciò si dimostra, semplicemente, notando che nelle ipotesi poste si può dividere membro a membro per [tex]$|g(x)|$[/tex] in (1) ottenendo:
[tex]$\exists M \geq 0 :\ \left| \frac{f(x)}{g(x)}\right| \leq M\ \text{definitivamente intorno ad } x_0$[/tex]. [tex]$\diamondsuit$[/tex]
In particolare, dall'Osservazione Importante segue immediatamente il:
Criterio della [tex]$\text{O}$[/tex]: Se [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno ad [tex]$x_0$[/tex] e se esiste finito il [tex]$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$[/tex], allora risulta [tex]$f(x)=\text{O}(g(x))\ \text{in } x_0$[/tex].
Tale criterio è una condizione sufficiente ma tutt'altro che necessaria all'essere [tex]$f(x)=\text{O} (g(x))\ \text{in } x_0$[/tex]: infatti il viceversa non è in generale vero, come mostra il seguente:
Controesempio: Siano:
[tex]$f(x):= \begin{cases} x-1 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex],
[tex]$g(x):=\begin{cases} 2(x-1) &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex]
definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0=0$[/tex].
Evidentemente è [tex]$f(x)=\text{O} (g(x))\ \text{in } 0$[/tex] (infatti basta prendere [tex]$M=1$[/tex] per verificare la (1) addirittura ovunque in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]).
Tuttavia [tex]$g(x)$[/tex] non è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex] ed il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)}$[/tex] non è definito in alcun intorno di [tex]$0$[/tex], perciò il limite [tex]$\lim_{x\to 0} \tfrac{f(x)}{g(x)}$[/tex] non può nemmeno essere calcolato.
Esempi:
A. Siano [tex]$f(x):=x^{101}$[/tex] e [tex]$g(x):=x$[/tex] definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0:=0$[/tex] (che è di accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Per note proprietà degli esponenziali e del valore assoluto, troviamo che:
[tex]$\forall x\in ]-1,1[,\ |x^{101}|=|x|^{101}\leq |x|$[/tex],
pertanto la (1) è verificata se prendiamo [tex]$I(0)=]-1,1[$[/tex] ed [tex]$M=1\geq 0$[/tex]; ne consegue che [tex]$x^{101} =\text{O}(x)\ \text{in } 0$[/tex]. [tex]$\spadesuit$[/tex]
B. Siano [tex]$f(x):=x$[/tex] e [tex]$g(x):=\sin x$[/tex] definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0:=0$[/tex] (che è di accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Visto che [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex] (difatti basta prendere [tex]$J(x_0)=]-\pi ,\pi[$[/tex]), si può formare il rapporto [tex]$\tfrac{x}{\sin x}$[/tex] definito in un opportuno intorno di [tex]$0$[/tex] privato di [tex]$0$[/tex] stesso; tale rapporto ha limite finito in [tex]$0$[/tex] (tale limite essendo [tex]$=1$[/tex]), e dal Criterio della [tex]$\text{O}$[/tex] segue immediatamente che [tex]$x=\text{O}(\sin x)\ \text{in } 0$[/tex].
D'altra parte, scegliamo [tex]$x_0=+\infty$[/tex] (che è d'accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Comunque vogliamo scegliere [tex]$M\geq 0$[/tex] grande, esiste sempre un intorno di [tex]$+\infty$[/tex] in cui riesce [tex]$|f(x)|=|x|>2M>M\ |\sin x|=M\ |g(x)|$[/tex] (basta prendere [tex]$I(+\infty) =]2M,+\infty[$[/tex]), pertanto in questo caso non ci sarà possibile verificare la (1) per nessun [tex]$M\geq 0$[/tex]; ne consegue che [tex]$x\neq \text{O}(\sin x)\ \text{in } +\infty$[/tex]. [tex]$\spadesuit$[/tex]
C. Siano [tex]$f(x):=x^2$[/tex] e [tex]$g(x):=x^2\ln x$[/tex] definite rispettivamente in [tex]$X=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$Y=]0,+\infty[$[/tex] e sia [tex]$x_0:=+\infty$[/tex] (che è di accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Per note proprietà del logaritmo si ha [tex]$\ln x>1$[/tex] per [tex]$x\in ]e,+\infty[$[/tex], ergo risulta:
[tex]$\forall x\in ]e,+\infty[,\ |x^2|\leq |x^2\ln x|$[/tex],
perciò la (1) è verificata quando prendiamo [tex]$I(+\infty)=]e,+\infty[$[/tex] ed [tex]$M=1$[/tex]; ne consegue che [tex]$x^2=\text{O}(x^2\ln x)\ \text{in } +\infty $[/tex].
Analogamente se scegliamo [tex]$x_0=0$[/tex], la funzione [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex] e si può formare il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)}=\tfrac{1}{\ln x}$[/tex]; tale rapporto ha limite finito in [tex]$0$[/tex] (tale limite essendo [tex]$=0$[/tex]), pertanto si ha [tex]$x^2=\text{O}(x^2\ln x)\ \text{in } 0$[/tex] per il Criterio della [tex]$\text{O}$[/tex]. [tex]$\spadesuit$[/tex]
Il simbolo [tex]$\text{O}$[/tex] gode di alcune importanti "proprietà algberiche", che richiamiamo qui sotto:
i) Se [tex]$f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x))$[/tex] e [tex]$g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x))$[/tex], allora [tex]$f(x)=\text{O}_{x_0} (h(x))$[/tex].
ii) Se [tex]$f(x)=\text{O}_{x_0} (h(x))$[/tex] e [tex]$g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x))$[/tex], allora [tex]$f(x)+g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x))$[/tex].
iii) Se [tex]$f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x))$[/tex] e [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex], allora [tex]$\alpha f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x))$[/tex].
iv) Se [tex]$f(x)=\text{O}_{x_0} (h(x))$[/tex] e [tex]$g(x)=\text{O}_{x_0} (k(x))$[/tex] allora [tex]$f(x)g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)k(x))$[/tex]; in particolare [tex]f^n(x)=\text{O}_{x_0} (h^n(x))[/tex] per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex].
v) Se [tex]$f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x))$[/tex] ed [tex]$f(x)$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] sono definitivamente non nulle intorno ad [tex]$x_0$[/tex], allora [tex]$\tfrac{1}{g(x)}=\text{O}_{x_0} (\tfrac{1}{f(x)})$[/tex].
Tali proprietà si dimostrano applicando direttamente la definizione.
Le proprietà i)-iv) si possono esprimere più sinteticamente come segue:
i') [tex]$\text{O}_{x_0}(\text{O}_{x_0}(h(x))) =\text{O}_{x_0}(h(x))$[/tex].
ii') [tex]\text{O}_{x_0}(h(x))+\text{O}_{x_0}(h(x))=\text{O}_{x_0}(h(x))[/tex].
iii') [tex]\alpha\cdot \text{O}_{x_0}(g(x)) =\text{O}_{x_0}(g(x))[/tex] per [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex].
iv') [tex]\text{O}_{x_0}(h(x))\cdot \text{O}_{x_0}(k(x)) =\text{O}_{x_0}(h(x)k(x))[/tex] ed [tex]$\big[ \text{O}_{x_0}(h(x))\big]^n =\text{O}_{x_0}(h^n(x))$[/tex] per [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex].
Seguendo il motto:
Un simbolo di Landau al giorno leva il Matematico di torno,
proseguiamo il nostro percorso; oggi è il turno del simbolo [tex]$\text{o}$[/tex], che si legge "o piccolo".
Diamo la definizione:
C'è somiglianza, ma anche grande differenza, tra la (2) e la (1) (che definisce il simbolo [tex]$\text{O}$[/tex]).
Infatti anche la (2) vuol dire che, per ogni [tex]$x\in X\cap Y$[/tex] sufficientemente vicino ad [tex]$x_0$[/tex], la grandezza [tex]$|f(x)|$[/tex] si può maggiorare con una grandezza direttamente proporzionale a [tex]$|g(x)|$[/tex] (somiglianza!); tuttavia in questo caso si richiede che la costante di proporzionalità [tex]$\varepsilon$[/tex] possa essere scelta "arbitrariamente piccola" senza intaccare la validità locale della maggiorazione (grandissima differenza!).
Notiamo esplicitamente che anche in questo caso non abbiamo posto alcuna restrizione al comportamento di [tex]$f(x)$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] intorno ad [tex]$x_0$[/tex].
Osservazione: Dalla definizione appena data si desume immediatamente che il simbolo [tex]$\text{o}_{x_0} (1)$[/tex] può essere usato per denotare le funzioni infinitesime intorno ad [tex]$x_0$[/tex].
Infatti, sostituendo [tex]$g(x)=1$[/tex] in (2), troviamo che [tex]$f(x)$[/tex] è infinitesima in [tex]$x_0$[/tex]. [tex]$\diamondsuit$[/tex]
Osservazione Importante: Se la funzione [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno ad [tex]$x_0$[/tex] (il che vuol dire che esiste un intorno [tex]$J(x_0)$[/tex] tale che [tex]$g(x)\neq 0$[/tex] per [tex]$x\in J(x_0)\cap Y\setminus \{ x_0\}$[/tex]), la (2) equivale a dire che il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)}$[/tex] è infinitesimo in [tex]$x_0$[/tex], ossia che risulta:
[tex]$\lim_{x\to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| =0$[/tex];
ciò si dimostra, semplicemente, notando che nelle ipotesi poste si può dividere membro a membro in (2) per [tex]$|g(x)|$[/tex] ottenendo:
[tex]$\forall \varepsilon > 0,\ \exists I_\varepsilon (x_0)\ \text{intorno di } x_0:\ \forall x\in I_\varepsilon (x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\},\ \left| \frac{f(x)}{g(x)}\right| \leq \varepsilon$[/tex]. [tex]$\diamondsuit$[/tex]
In particolare, dall'Osservazione Importante segue immediatamente il:
In generale, il criterio fornisce una condizione sufficiente affinchè valga [tex]$f(x)=\text{o} (g(x))\ \text{in } x_0$[/tex] ma non necessaria, come mostra il seguente:
Controesempio: Siano:
[tex]$f(x):=\begin{cases} (x-1)^2 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex],
[tex]$g(x):= \begin{cases} x-1 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex],
definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] e sia [tex]$x_0=0$[/tex].
Evidentemente [tex]$g(x)$[/tex] non è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex] ed il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)}$[/tex] non è definito in alcun intorno di [tex]$0$[/tex], ergo il [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$[/tex] non può essere calcolato.
Tuttavia la (2) è banalmente soddisfatta in ogni intono di [tex]$0$[/tex] di ampiezza [tex]$<1$[/tex], quindi [tex]$f(x)=\text{o}(g(x))\ \text{in } 0$[/tex].
Esempi:
A. Come nel post precedente, siano [tex]$f(x):=x^{101}$[/tex] e [tex]$g(x):=x$[/tex] definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0=0$[/tex] (che è di accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Evidentemente [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex], perciò ha senso formare il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)} =x^{100}$[/tex]; tale rapporto è infinitesimo per [tex]$x\to 0$[/tex], per cui dal Criterio della [tex]$\text{o}$[/tex] segue che [tex]$x^{101}=\text{o} (x)\ \text{in } 0$[/tex]. [tex]$\spadesuit$[/tex]
B. Come nel post precedente, siano [tex]$f(x):=x$[/tex] e [tex]$g(x):=\sin x$[/tex] definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0:=0$[/tex] (che è di accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Visto che [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex] (difatti basta prendere [tex]$J(x_0)=]-\pi ,\pi[$[/tex]), si può formare il rapporto [tex]$\tfrac{x}{\sin x}$[/tex] definito in un opportuno intorno di [tex]$0$[/tex] privato di [tex]$0$[/tex] stesso; tale rapporto ha limite finito e non nullo in [tex]$0$[/tex] (tale limite è [tex]$=1$[/tex]) e perciò non possiamo usare il Criterio della [tex]$\text{o}$[/tex]. Quanto trovato ci fa pensare che risulta [tex]$x\neq \text{o}(\sin x)\ \text{in } 0$[/tex] ed ora vedremo se ciò è vero.
Per dimostrare che [tex]$x\neq \text{o} (\sin x)$[/tex] dobbiamo far vedere che:
(*) [tex]$\exists \bar{\varepsilon} >0:\ \forall I(0)\ \text{intorno di } 0, \exists \bar{x}\in I(0)\setminus \{ 0\}:\ |\bar{x}|>\bar{\varepsilon} |\sin \bar{x}|$[/tex]
(notiamo che quella appena scritta è la negazione formale della (2)). Sappiamo che [tex]$\lim_{x\to 0} \tfrac{x}{\sin x} =1$[/tex] e ciò implica che abbiamo anche:
[tex]$\lim_{x\to 0} \left| \frac{x}{\sin x}\right| =1$[/tex];
usando la definizione di limite, in corrispondenza del numero positivo [tex]$\tfrac{1}{3}$[/tex] troviamo un intorno [tex]$U(0)$[/tex] (abbastanza piccolo, in modo che [tex]$\sin x \neq 0$[/tex] per [tex]$x\in U(0)$[/tex]) tale che:
[tex]$\forall x \in U(0)\setminus \{ 0\},\ \left| \frac{|x|}{|\sin x|} -1\right| <\frac{1}{3}$[/tex]
ma ciò equivale a dire che:
[tex]$\forall x\in U(0)\setminus \{ 0\},\ \frac{2}{3}\ |\sin x| < |x| <\frac{4}{3}\ |\sin x|$[/tex];
scelto allora [tex]$\bar{\varepsilon} =\tfrac{2}{3}$[/tex], comunque si fissi l'intorno [tex]$I(0)$[/tex], avremo certamente [tex]$I(0)\cap U(0)\setminus \{ 0\} \neq \varnothing$[/tex] perciò, comunque vorremo scegliere [tex]$\bar{x} \in I(0)\cap U(0)\setminus \{ 0\}$[/tex], troveremo:
[tex]$\frac{2}{3}\ |\sin \bar{x}| < |\bar{x}|$[/tex],
quindi vale la (*) con [tex]$\bar{\varepsilon} =\frac{2}{3}$[/tex]. Ne consegue che [tex]$x\neq \text{o} (\sin x)$[/tex], come volevamo. [tex]$\spadesuit$[/tex]
C. Siano [tex]$f(x):=\tfrac{1}{x\ln x}$[/tex] e [tex]$g(x):=\tfrac{1}{x}$[/tex] definite, rispettivamente, in [tex]$X=\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex] ed [tex]$Y=]0,+\infty[$[/tex] e sia [tex]$x_0=+\infty$[/tex] (che è d'accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Dato che [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno a [tex]$+\infty$[/tex] e dato che [tex]$\lim_{x\to +\infty} \tfrac{f(x)}{g(x)}=0$[/tex], il Criterio della [tex]$\text{o}$[/tex] si applica al caso in esame. Ne consegue [tex]$\tfrac{1}{x\ln x} =\text{o} (\tfrac{1}{x})\ \text{in } +\infty$[/tex]. [tex]$\spadesuit$[/tex]
Come il simbolo [tex]$\text{O}$[/tex], anche il simbolo [tex]$\text{o}$[/tex] gode di importanti "proprietà algebriche", alcune delle quali sono riassunte nell'elenco che segue:
Tali proprietà si dimostrano applicando direttamente le definizioni (1) e (2), perciò la dimostrazione è lasciata al lettore interessato.
Le proprietà i)-iv-b) si possono esprimere più sinteticamente come segue:
Inoltre, dal raffronto delle (1) e (2) segue immediatamente che:
Un simbolo di Landau al giorno leva il Matematico di torno,
proseguiamo il nostro percorso; oggi è il turno del simbolo [tex]$\text{o}$[/tex], che si legge "o piccolo".
Diamo la definizione:
Diciamo che [tex]$f(x)$[/tex] è un [tex]$\text{o}$[/tex] di [tex]$g(x)$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] se:
(2) [tex]$\forall \varepsilon >0,\ |f(x)|\leq \varepsilon\ |g(x)|\ \text{definitivamente intorno ad }x_0$[/tex]
ossia se:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists I_\varepsilon (x_0)\ \text{intorno di } x_0:\ \forall x\in I_\varepsilon (x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\} ,\ |f(x)|\leq \varepsilon\ |g(x)|$[/tex];
in tal caso scriviamo:
[tex]$f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x))$[/tex] oppure [tex]$f(x)=\text{o}(g(x))\ \text{in } x_0$[/tex]
(il punto [tex]$x_0$[/tex] può anche essere omesso se ciò non crea ambiguità).
C'è somiglianza, ma anche grande differenza, tra la (2) e la (1) (che definisce il simbolo [tex]$\text{O}$[/tex]).
Infatti anche la (2) vuol dire che, per ogni [tex]$x\in X\cap Y$[/tex] sufficientemente vicino ad [tex]$x_0$[/tex], la grandezza [tex]$|f(x)|$[/tex] si può maggiorare con una grandezza direttamente proporzionale a [tex]$|g(x)|$[/tex] (somiglianza!); tuttavia in questo caso si richiede che la costante di proporzionalità [tex]$\varepsilon$[/tex] possa essere scelta "arbitrariamente piccola" senza intaccare la validità locale della maggiorazione (grandissima differenza!).
Notiamo esplicitamente che anche in questo caso non abbiamo posto alcuna restrizione al comportamento di [tex]$f(x)$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] intorno ad [tex]$x_0$[/tex].
Osservazione: Dalla definizione appena data si desume immediatamente che il simbolo [tex]$\text{o}_{x_0} (1)$[/tex] può essere usato per denotare le funzioni infinitesime intorno ad [tex]$x_0$[/tex].
Infatti, sostituendo [tex]$g(x)=1$[/tex] in (2), troviamo che [tex]$f(x)$[/tex] è infinitesima in [tex]$x_0$[/tex]. [tex]$\diamondsuit$[/tex]
Osservazione Importante: Se la funzione [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno ad [tex]$x_0$[/tex] (il che vuol dire che esiste un intorno [tex]$J(x_0)$[/tex] tale che [tex]$g(x)\neq 0$[/tex] per [tex]$x\in J(x_0)\cap Y\setminus \{ x_0\}$[/tex]), la (2) equivale a dire che il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)}$[/tex] è infinitesimo in [tex]$x_0$[/tex], ossia che risulta:
[tex]$\lim_{x\to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| =0$[/tex];
ciò si dimostra, semplicemente, notando che nelle ipotesi poste si può dividere membro a membro in (2) per [tex]$|g(x)|$[/tex] ottenendo:
[tex]$\forall \varepsilon > 0,\ \exists I_\varepsilon (x_0)\ \text{intorno di } x_0:\ \forall x\in I_\varepsilon (x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\},\ \left| \frac{f(x)}{g(x)}\right| \leq \varepsilon$[/tex]. [tex]$\diamondsuit$[/tex]
In particolare, dall'Osservazione Importante segue immediatamente il:
Criterio della [tex]$\text{o}$[/tex]: Se [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno ad [tex]$x_0$[/tex] e [tex]$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =0$[/tex], allora risulta [tex]$f(x)=\text{o}(g(x))\ \text{in } x_0$[/tex].
In generale, il criterio fornisce una condizione sufficiente affinchè valga [tex]$f(x)=\text{o} (g(x))\ \text{in } x_0$[/tex] ma non necessaria, come mostra il seguente:
Controesempio: Siano:
[tex]$f(x):=\begin{cases} (x-1)^2 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex],
[tex]$g(x):= \begin{cases} x-1 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex],
definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] e sia [tex]$x_0=0$[/tex].
Evidentemente [tex]$g(x)$[/tex] non è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex] ed il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)}$[/tex] non è definito in alcun intorno di [tex]$0$[/tex], ergo il [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$[/tex] non può essere calcolato.
Tuttavia la (2) è banalmente soddisfatta in ogni intono di [tex]$0$[/tex] di ampiezza [tex]$<1$[/tex], quindi [tex]$f(x)=\text{o}(g(x))\ \text{in } 0$[/tex].
Esempi:
A. Come nel post precedente, siano [tex]$f(x):=x^{101}$[/tex] e [tex]$g(x):=x$[/tex] definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0=0$[/tex] (che è di accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Evidentemente [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex], perciò ha senso formare il rapporto [tex]$\tfrac{f(x)}{g(x)} =x^{100}$[/tex]; tale rapporto è infinitesimo per [tex]$x\to 0$[/tex], per cui dal Criterio della [tex]$\text{o}$[/tex] segue che [tex]$x^{101}=\text{o} (x)\ \text{in } 0$[/tex]. [tex]$\spadesuit$[/tex]
B. Come nel post precedente, siano [tex]$f(x):=x$[/tex] e [tex]$g(x):=\sin x$[/tex] definite in [tex]$X=Y=\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0:=0$[/tex] (che è di accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Visto che [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno a [tex]$0$[/tex] (difatti basta prendere [tex]$J(x_0)=]-\pi ,\pi[$[/tex]), si può formare il rapporto [tex]$\tfrac{x}{\sin x}$[/tex] definito in un opportuno intorno di [tex]$0$[/tex] privato di [tex]$0$[/tex] stesso; tale rapporto ha limite finito e non nullo in [tex]$0$[/tex] (tale limite è [tex]$=1$[/tex]) e perciò non possiamo usare il Criterio della [tex]$\text{o}$[/tex]. Quanto trovato ci fa pensare che risulta [tex]$x\neq \text{o}(\sin x)\ \text{in } 0$[/tex] ed ora vedremo se ciò è vero.
Per dimostrare che [tex]$x\neq \text{o} (\sin x)$[/tex] dobbiamo far vedere che:
(*) [tex]$\exists \bar{\varepsilon} >0:\ \forall I(0)\ \text{intorno di } 0, \exists \bar{x}\in I(0)\setminus \{ 0\}:\ |\bar{x}|>\bar{\varepsilon} |\sin \bar{x}|$[/tex]
(notiamo che quella appena scritta è la negazione formale della (2)). Sappiamo che [tex]$\lim_{x\to 0} \tfrac{x}{\sin x} =1$[/tex] e ciò implica che abbiamo anche:
[tex]$\lim_{x\to 0} \left| \frac{x}{\sin x}\right| =1$[/tex];
usando la definizione di limite, in corrispondenza del numero positivo [tex]$\tfrac{1}{3}$[/tex] troviamo un intorno [tex]$U(0)$[/tex] (abbastanza piccolo, in modo che [tex]$\sin x \neq 0$[/tex] per [tex]$x\in U(0)$[/tex]) tale che:
[tex]$\forall x \in U(0)\setminus \{ 0\},\ \left| \frac{|x|}{|\sin x|} -1\right| <\frac{1}{3}$[/tex]
ma ciò equivale a dire che:
[tex]$\forall x\in U(0)\setminus \{ 0\},\ \frac{2}{3}\ |\sin x| < |x| <\frac{4}{3}\ |\sin x|$[/tex];
scelto allora [tex]$\bar{\varepsilon} =\tfrac{2}{3}$[/tex], comunque si fissi l'intorno [tex]$I(0)$[/tex], avremo certamente [tex]$I(0)\cap U(0)\setminus \{ 0\} \neq \varnothing$[/tex] perciò, comunque vorremo scegliere [tex]$\bar{x} \in I(0)\cap U(0)\setminus \{ 0\}$[/tex], troveremo:
[tex]$\frac{2}{3}\ |\sin \bar{x}| < |\bar{x}|$[/tex],
quindi vale la (*) con [tex]$\bar{\varepsilon} =\frac{2}{3}$[/tex]. Ne consegue che [tex]$x\neq \text{o} (\sin x)$[/tex], come volevamo. [tex]$\spadesuit$[/tex]
C. Siano [tex]$f(x):=\tfrac{1}{x\ln x}$[/tex] e [tex]$g(x):=\tfrac{1}{x}$[/tex] definite, rispettivamente, in [tex]$X=\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex] ed [tex]$Y=]0,+\infty[$[/tex] e sia [tex]$x_0=+\infty$[/tex] (che è d'accumulazione per [tex]$X\cap Y$[/tex]).
Dato che [tex]$g(x)$[/tex] è definitivamente non nulla intorno a [tex]$+\infty$[/tex] e dato che [tex]$\lim_{x\to +\infty} \tfrac{f(x)}{g(x)}=0$[/tex], il Criterio della [tex]$\text{o}$[/tex] si applica al caso in esame. Ne consegue [tex]$\tfrac{1}{x\ln x} =\text{o} (\tfrac{1}{x})\ \text{in } +\infty$[/tex]. [tex]$\spadesuit$[/tex]
Come il simbolo [tex]$\text{O}$[/tex], anche il simbolo [tex]$\text{o}$[/tex] gode di importanti "proprietà algebriche", alcune delle quali sono riassunte nell'elenco che segue:
i) Se risulta:
- [tex]$f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x))$[/tex] e [tex]$g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x))$[/tex] oppure
- [tex]$f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x))$[/tex] e [tex]$g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x))$[/tex] oppure
- [tex]$f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x))$[/tex] e [tex]$g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x))$[/tex],
allora [tex]$f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x))$[/tex].
ii-a) Se [tex]$f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x))$[/tex] e [tex]$g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x))$[/tex], allora [tex]$f(x)+g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x))$[/tex].
ii-b) Se [tex]$f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x))$[/tex] e [tex]$g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x))$[/tex], allora [tex]$f(x)+g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x))$[/tex].
iii) Se [tex]$f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x))$[/tex] e [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex], allora [tex]$\alpha f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x))$[/tex].
iv-a) Se [tex]$f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x))$[/tex] e [tex]$g(x)=\text{o}_{x_0} (k(x))$[/tex] allora [tex]$f(x)g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)k(x))$[/tex]; in particolare [tex]$f^n(x)=\text{o}_{x_0} (h^n(x))$[/tex] per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex].
iv-b) Se [tex]$f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x))$[/tex] e [tex]$g(x)=\text{O}_{x_0} (k(x))$[/tex] allora [tex]$f(x)g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)k(x))$[/tex].
Tali proprietà si dimostrano applicando direttamente le definizioni (1) e (2), perciò la dimostrazione è lasciata al lettore interessato.
Le proprietà i)-iv-b) si possono esprimere più sinteticamente come segue:
i') [tex]$\text{o}_{x_0}(\text{o}_{x_0}(h(x))) =\text{o}_{x_0}(\text{O}_{x_0}(h(x)))=\text{O}_{x_0}(\text{o}_{x_0}(h(x)))=\text{o}_{x_0}(h(x))$[/tex].
ii'-a) [tex]$\text{o}_{x_0}(h(x))+\text{o}_{x_0}(h(x))=\text{o}_{x_0}(h(x))$[/tex].
ii'-b) [tex]$\text{o}_{x_0}(h(x))+\text{O}_{x_0}(h(x))=\text{O}_{x_0}(h(x))$[/tex].
iii') [tex]$\alpha\cdot \text{o}_{x_0}(g(x)) =\text{o}_{x_0}(g(x))$[/tex] per [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex].
iv'-a) [tex]$\text{o}_{x_0}(h(x))\cdot \text{o}_{x_0}(k(x)) =\text{o}_{x_0}(h(x)k(x))$[/tex] ed [tex]$\big[ \text{o}_{x_0}(h(x))\big]^n =\text{o}_{x_0}(h^n(x))$[/tex] per [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex].
iv'-b) [tex]$\text{o}_{x_0}(h(x))\cdot \text{O}_{x_0}(k(x)) =\text{o}_{x_0}(h(x)k(x))$[/tex].
Inoltre, dal raffronto delle (1) e (2) segue immediatamente che:
[tex]$f(x)=\text{o}_{x_0}(g(x))\quad \Rightarrow \quad f(x)=\text{O}_{x_0}(g(x))$[/tex].
Scusate se mi sono fermato, ma in questi giorni prenatalizi ho avuto il mio bel daffare all'università.
Conto di tornare sull'argomento durante le feste, tra un piattino di struffoli ed un roccocò.
Conto di tornare sull'argomento durante le feste, tra un piattino di struffoli ed un roccocò.
Ho difficoltà quando negli o-piccoli entrano i valori assoluti...tipo $o(abs(x)^3+y^2)$...per esempio se volessi confrontarlo con un denominatore che ha un $o(x^3+y^3)$...come posso fare?
Se ricordo bene, il segno dell'argomento dell'o-piccolo è ininfluente, poichè possiamo pensare al segno come al prodotto di un termine per $ -1 $ o per $ +1 $, quindi i due o-piccoli suddetti sono di pari ordine.
(W rispondere mesi dopo).
(W rispondere mesi dopo).
Devo verificare quanto segue:
$f(x)=O(x) Rightarrow f(x)=o(x)$ entrambi per $x to +infty$
Io faccio cosi:
Scrivo
$o(x)=O(x)$
e verifico che sia vero
$(o(x))/x=(x*o(1))/x=o(1) to 0 text( per ) x to infty Rightarrow o(x)=O(x)$
Allora $f(x)=O(x) Rightarrow f(x)=o(x) text( per ) x to infty $ è vera.
E' corretto?
Se si allora mi viene da dire che sia vera per x che tende a qualsiasi numero reale anche!
$f(x)=O(x) Rightarrow f(x)=o(x)$ entrambi per $x to +infty$
Io faccio cosi:
Scrivo
$o(x)=O(x)$
e verifico che sia vero
$(o(x))/x=(x*o(1))/x=o(1) to 0 text( per ) x to infty Rightarrow o(x)=O(x)$
Allora $f(x)=O(x) Rightarrow f(x)=o(x) text( per ) x to infty $ è vera.
E' corretto?
Se si allora mi viene da dire che sia vera per x che tende a qualsiasi numero reale anche!
Molto interessante, ma ti sei fermato sul più bello!
Gli altri due simboli?? al contrario dei primi due non mi pare di averli mai letti.
Potresti continuare il tuo excursus sui simboli di Landau??
Gli altri due simboli?? al contrario dei primi due non mi pare di averli mai letti.
Potresti continuare il tuo excursus sui simboli di Landau??
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