Trucchetto algebrico antitrasformata di laplace

[mazzy89-votailprof]

avrei da calcolare l'antitrasformata di laplace di $(s^2+s+1)/(s^3+1)$. scompongo il denominatore ottenendo così $(s^2+s+1)/((s+1)(s^2-s+1))$.arrivati a qui scompongo applicando la formula di hermite tirandomi fuori $(s+1)$ avendo così $1/3*1/(s+1)+(s^2+s+1)/(s^2-s+1)$.a questo punto ho visto in molti libri fare un trucchetto algebrico dell'aggiungi e togli al denominatore del secondo pezzo in modo da ricondursi poi ad un pezzo elevato al quadrato più una costante in modo così da ottenere l'antitrasformata di $cos$ o $sin$.

per esempio su un libro ho visto scritto: $s^2-6s+13=(s-3)^2+4$

mod:questa l'ho capita.praticamente consiste nello scomporre $13$ nella somma di $9+4$ ma nel mio caso non capisco come posso scomporre!!!qualche idea?!!?!

[enr87]

io su questi argomenti sono un po' arrugginito, dovrei ripassarmeli per bene quest'estate. se il problema è solo la scomposizione, basta che prendi il termine di grado 1 e lo consideri come un doppio prodotto, nel tuo caso sarà 1 = 2(1*b), da cui ricavi b = 1/2. quindi al denominatore basta che aggiungi e sottrai 1/4 (cioè b^2). è lo stesso trucco che si adopera per integrare funzioni razionali che hanno denominatore non decomponibile di grado 2 (ci si riconduce alla primitiva di un arcotangente)

[mazzy89-votailprof]

"enr87":io su questi argomenti sono un po' arrugginito, dovrei ripassarmeli per bene quest'estate. se il problema è solo la scomposizione, basta che prendi il termine di grado 1 e lo consideri come un doppio prodotto, nel tuo caso sarà 1 = 2(1*b), da cui ricavi b = 1/2. quindi al denominatore basta che aggiungi e sottrai 1/4 (cioè b^2). è lo stesso trucco che si adopera per integrare funzioni razionali che hanno denominatore non decomponibile di grado 2 (ci si riconduce alla primitiva di un arcotangente)

ah bene allora a questo punto dopo calcoli mi sono bloccato a $(s^2+s+1)/((s-1/2)^2+3/4)$.come posso condurmi a qualcosa di più somigliante alla trasformata di seno e coseno?

[gugo82]

Beh, se spezzi in somma e tieni presente le proprietà della trasformata mi pare che hai quasi finito (in particolare, direi che vengono fuori delle derivate del seno, ad occhio).

[mazzy89-votailprof]

"gugo82":Beh, se spezzi in somma e tieni presente le proprietà della trasformata mi pare che hai quasi finito (in particolare, direi che vengono fuori delle derivate del seno, ad occhio).

cioè intendi dire così $(s^2)/((s-1/2)^2+3/4)+(s)/((s-1/2)^2+3/4)+(1)/((s-1/2)^2+3/4)$ ?

ma non capisco come sistemare quell'$s^2$.gli altri due addendi riesco a ricondurli ma quell'$s^2$ non saprei come trasformarlo

please gugo non mi lasciare affogo!!!

[mazzy89-votailprof]

ho risolto tutto.ragionavamo male fin dall'inizio bisognava che divideva numeratore per denominatore dato che avevano lo stesso grado.

[gugo82]

Scusa, ma se [tex]$x(t)$[/tex] è trasformabile e derivabile abbastanza volte non è [tex]$\mathcal{L}[x^{(n)}](s)=s^n\mathcal{L}[x](s)$[/tex]?

[mazzy89-votailprof]

"gugo82":Scusa, ma se [tex]$x(t)$[/tex] è trasformabile e derivabile abbastanza volte non è [tex]$\mathcal{L}[x^{(n)}](s)=s^n\mathcal{L}[x](s)$[/tex]?

si già vero ma posso considerare fin dall'inizio questa scomposizione:

parto da $(s^2+s+1)/(s^3+1)=(s^2+s+1)/((s+1)(s^2-s+1))=1/3*(1/(s+1))+(s^2+s+1)/(s^2-s+1)$

poi divido numeratore e denominatore dato che hanno uguale grado

è giusto il mio discorso?

[mazzy89-votailprof]

c'è però qualcosa ancora che non mi convince.calcolando il tutto tramite matlab ottendo due risultati differenti a meno di un delta di dirac.calcolando l'antitrasformata di $(s^2+s+1)/(s^3+1)$ ottengo un risultato.calcolando invece $1/3*(1/(s+1))+(s^2+s+1)/(s^2-s+1)$ ottengo lo stesso risultato precedente ma con l'aggiunta del delta di dirac.non capisco perché!!!!