Trucchetti algebrici per serie

[mazzy89-votailprof]

dato il fratto $1/(z-1)$.devo fare il modo tramite qualche stratagemma algebrico che al denominatore compaia $3+(z-2)$ come posso fare?qualche idea?
nel caso $1/(z+1)$ ho considerato $z-2+3$.ma con con il $-1$ non saprei che strada prendere

[mazzy89-votailprof]

praticamente l'esercizio originario consiste nello sviluppare in serie di laurent in $|z-2|>3$ questa funzione $f(z)=1/(z^2-1)$.

sviluppo in fratti semplici ed ottengo: $1/2*1/(z-1)-1/2*1/(z+1)$

so come sviluppare il secondo addendo ma il primo a cosa posso ricondurlo?

[gugo82]

Per il primo, non ti basta notare che [tex]\frac{1}{z-1}=\frac{1}{(z-2)+1}[/tex], cosicché [tex]\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z-2}\ \frac{1}{1+\frac{1}{z-2}}[/tex]?
Chiaramente questo sviluppo di Laurent convergerà nell'esterno di un cerchio più piccolo (precisamente per [tex]$|z-2|>1$[/tex]) e non potrebbe essere altrimenti perchè l'unica singolarità di [tex]\frac{1}{z-1}[/tex] è in [tex]$\zeta=1$[/tex] e si ha [tex]$|\zeta -2|=1$[/tex].

Però ricorda che l'insieme di convergenza di una somma di serie è dato dall'intersezione degli insiemi di convergenza dei singoli addendi.*

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* Qui sono volutamente impreciso. Di solito l'insieme di convergenza di una somma contiene l'intersezione degli insiemi di convergenza dei singoli addendi.

Tuttavia qui hai una serie che converge totalmente in [tex]$A:=\mathbb{C}\setminus D(2;1)$[/tex] e, dall'altra parte, hai una serie che converge in [tex]$B:=\mathbb{C}\setminus D(2;3)$[/tex] e che non converge in nessun punto di [tex]$A\setminus B=D(2;3)\setminus D(2;1)$[/tex]; ma [tex]$A\setminus B$[/tex] è tutto contenuto in [tex]$A$[/tex], quindi il primo addendo converge totalmente su [tex]$A\setminus B$[/tex]; ciò ti fa concludere che l'insieme di convergenza della somma dei due sviluppi non può contenere alcun punto di [tex]$A\setminus B$[/tex]: infatti se, per assurdo, la somma dei due addendi convergesse in [tex]$z\in A\setminus B$[/tex], allora il secondo addendo convergerebbe in [tex]$z$[/tex] (perchè esprimibile come differenza di sviluppi in serie convergenti in [tex]$z$[/tex]), ma ciò è assurdo perchè tale addendo non converge in alcun punto di [tex]$A\setminus B$[/tex].
Conseguenemente l'insieme di convergenza della somma delle due serie di Laurent è proprio [tex]$B$[/tex].

[mazzy89-votailprof]

"gugo82":Per il primo, non ti basta notare che [tex]\frac{1}{z-1}=\frac{1}{(z-2)+1}[/tex], cosicché [tex]\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z-2}\ \frac{1}{1+\frac{1}{z-2}}[/tex]?

be mi era venuta in mente quest'idea ma in questo modo io sviluppo per $|z-2|>1$ e non $>3$

[gugo82]

Ho modificato il post precedente.

Ah, ovviamente [tex]$D(z_0;r):=\{ z\in \mathbb{C}:\ |z-z_0|0$[/tex].

[mazzy89-votailprof]

"gugo82":Ho modificato il post precedente.

Ah, ovviamente [tex]$D(z_0;r):=\{ z\in \mathbb{C}:\ |z-z_0|0$[/tex].

ok ora tutto chiaro.mi mancava questa parte di teoria.infatti non riuscivo a capire come fare e ricondurmi allo sviluppo in $|z-2|>3$.chiarissimo gugo.come sempre!!!