Trovare una funzione che soddisfa la PDE
Ciao a tutti !
Ho trovato difficoltà in questo esercizio:
trovare una funzione $u=u(x,t) $ tale che
$u_{x x}=0 $ con $0 < x < 1, t > 0 $
e condizioni di contorno: $u(0,t)=t^{2} $ , $u(1,t)=1$
ho pensato di integrare due volte rispetto ad x, ottenendo delle funzioni che dipendono da t, ma alla fine, praticamente, non so farlo ! o meglio, integrando una volta ottengo una funzione arbitraria, ma la seconda integrazione che comporta???
C'è qualcuno che può aiutarmi?
grazie
Ho trovato difficoltà in questo esercizio:
trovare una funzione $u=u(x,t) $ tale che
$u_{x x}=0 $ con $0 < x < 1, t > 0 $
e condizioni di contorno: $u(0,t)=t^{2} $ , $u(1,t)=1$
ho pensato di integrare due volte rispetto ad x, ottenendo delle funzioni che dipendono da t, ma alla fine, praticamente, non so farlo ! o meglio, integrando una volta ottengo una funzione arbitraria, ma la seconda integrazione che comporta???
C'è qualcuno che può aiutarmi?
grazie
Risposte
$u(x,t)=(1-t^2)x+t^2$
come l hai ricavata?
Ha fatto quello che suggerisci tu. Andiamo con ordine: integrando una volta rispetto a $x$ l'equazione si ha
$$u_x=g(t)$$
dove $g$ dipende dalla variabile $t$. A questo punto, integrando nuovamente si ha
$$u(x,t)=g(t)\cdot x+h(t)$$
dove, di nuovo, $h$ dipende solo da $t$. A questo punto le condizioni al contorno permettono di scrivere
$$t^2=h(t),\qquad 1=g(t)+h(t)$$
da cui $h(t)=t^2,\ g(t)=1-h(t)=1-t^2$ e quindi la soluzione $u(x,t)=(1-t^2)x+t^2$.
$$u_x=g(t)$$
dove $g$ dipende dalla variabile $t$. A questo punto, integrando nuovamente si ha
$$u(x,t)=g(t)\cdot x+h(t)$$
dove, di nuovo, $h$ dipende solo da $t$. A questo punto le condizioni al contorno permettono di scrivere
$$t^2=h(t),\qquad 1=g(t)+h(t)$$
da cui $h(t)=t^2,\ g(t)=1-h(t)=1-t^2$ e quindi la soluzione $u(x,t)=(1-t^2)x+t^2$.
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