Trovare un n0 tale che per ogni n>n0 valga la formula
Salve ragazzi, volevo un vostro parere o una vostra soluzione visto che quasi sicuramente la mia sarà sbagliata. L'esercizio diceva cosi:
trovare un $n0$ tale che per ogni $n>n0$ valga la seguente disequazione $n!>10^-7$. Io ho pensato di minorare $n!$ con $n$ ( non so se questo passaggio è molto corretto)e di conseguenza se scelgo $n=10^(-7)+1$ che sicuramente sarà $10^(-7)+1>10^-7$ allora anche $(10^(-7)+1)!>10^-7$. L'esercizio infatti chiedeva un qualsiasi n0 quind ho pensato che fosse giusto! Il ragionamento dovrebbe filare . Aspetto vostre risposte e niente insulti mi rccomando!
trovare un $n0$ tale che per ogni $n>n0$ valga la seguente disequazione $n!>10^-7$. Io ho pensato di minorare $n!$ con $n$ ( non so se questo passaggio è molto corretto)e di conseguenza se scelgo $n=10^(-7)+1$ che sicuramente sarà $10^(-7)+1>10^-7$ allora anche $(10^(-7)+1)!>10^-7$. L'esercizio infatti chiedeva un qualsiasi n0 quind ho pensato che fosse giusto! Il ragionamento dovrebbe filare . Aspetto vostre risposte e niente insulti mi rccomando!
Risposte
C'è qualcosa che non va nel testo dell'esercizio: $n!$ indica "$n$ fattoriale", cioè $n! =1\cdot2\cdot...\cdot(n-1)\cdot n$, giusto?
Ma ogni intero positivo $n\ge0$ verifica la disuguaglianza! Tieni conto che $10^{-7}=0.0000001$. Sei sicuro che l'esercizio sia proprio questo?
Forse l'esercizio richiedeva di trovare l'intero $n_0$ tale che per ogni $n>n_0$ valga $n!>10^7$
Ma ogni intero positivo $n\ge0$ verifica la disuguaglianza! Tieni conto che $10^{-7}=0.0000001$. Sei sicuro che l'esercizio sia proprio questo?
Forse l'esercizio richiedeva di trovare l'intero $n_0$ tale che per ogni $n>n_0$ valga $n!>10^7$
ovviamente hai ragione te. Era $10^7$ ovviamente!!!!
Non ci sono molte possibilità per risolvere l'esercizio, almeno io non ne conosco tante.
Prova a fare un po' di calcoli. Non ti preoccupare, non ne farai tantissimi, visto che $n!$ cresce abbastanza velocemente al crescere di $n$. Calcola $1!$, poi $2!$, $3!$, $4!$, $5!$, ...
Quando ti dovrai fermare?
Prova a fare un po' di calcoli. Non ti preoccupare, non ne farai tantissimi, visto che $n!$ cresce abbastanza velocemente al crescere di $n$. Calcola $1!$, poi $2!$, $3!$, $4!$, $5!$, ...
Quando ti dovrai fermare?
"cestra":
Salve ragazzi, volevo un vostro parere o una vostra soluzione visto che quasi sicuramente la mia sarà sbagliata.
Perchè tanta insicurezza?
La soluzione proposta va bene (però dovresti correggere quel $10^(-7)$ nel primo post; lo puoi fare col tasto "modifica" in alto a destra).
"cestra":
Io ho pensato di minorare $n!$ con $n$
Questa minorazione va bene ai fini dell'esercizio.
Volendo fare una minorazione più fine, potresti usare $n!>n(n-1)$; in tal modo ti basterebbe risolvere la disequazione di secondo grado $n^2-n-10^7>0$ in $NN$.
Visto che l'equazione $x^2-x-10^7>0$ ha come unica soluzione positiva $\bar(x)=(1+\sqrt(1+4*10^7))/2\sim 3162.78$, puoi prendere $n_0=[\bar(x)]=3162$.
Ringrazio sia Gugo82 che Cirasa. Quindi diciamo che la tua minorazione è più precisa. Però il fine dell'esercizio è raggiunto lo stesso giusto?! Grazie mille cari. Posso sempre contare su di voi!!! 
Volendo fare una minorazione ancora più fine, si può usare $n!>=2^n$ che vale per $n>=4$ (si può provare per induzione).
In tal caso trovi $n!>10^7$ quando $2^n>10^7$ e ciò accade se:
$n>n_0=[log_2 10^7]
$\quad =[log_2(2^7 5^7)]
$\quad =[7+log_2 5^7]
$\quad =[7+16,253]=23$
e c'è una bella differenza con $n_0=3162$ determinato in precedenza!
In tal caso trovi $n!>10^7$ quando $2^n>10^7$ e ciò accade se:
$n>n_0=[log_2 10^7]
$\quad =[log_2(2^7 5^7)]
$\quad =[7+log_2 5^7]
$\quad =[7+16,253]=23$
e c'è una bella differenza con $n_0=3162$ determinato in precedenza!
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