Trovare un incognita

[Studente Anonimo]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto in un esercizio che richiede la risoluzione della seguente equazione:

$-84000+21000\frac{1-(1+i)^{-6}}{i}+14000(1+i)^{-6}=0$

Mi trovo bloccato, ho provato a risolverla ma niente... Solitamente su altri esercizi c'è il membro della terza posizione nella somma uguale al primo, di modo che alla fine si riesca a semplificare e trovare l'incognita, più o meno così:

$-84000+21000\frac{1-(1+i)^{-6}}{i}+84000(1+i)^{-6}=0$
Ora questo lo riesco a risolvere facilmente:
$\rightarrow x=(1+i)^{-6}$

$\frac{21000-21000x}{i}=84000(1-x)$

$\frac{21000(1-x)}{i}=84000(1-x)$

$\frac{1}{i}=\frac{84000(1-x)}{21000(1-x)}$

E da qui trovo l'incognita senza problemi. Il punto è che con l'esercizio formulato come nella prima equazione non riesco ad applicare questa semplificazione e di conseguenza non riesco a trovare l'incognita.

Qualche idea? Grazie

[pilloeffe]

Ciao ironhak,

Innanzitutto, sei sicuro che l'equazione sia quella?
Comunque tanto per cominciare dividerei tutta l'equazione per $7000$, in modo da avere numeri un po' più ragionevoli...

$-84000+21000\frac{1-(1+i)^{-6}}{i}+14000(1+i)^{-6}=0 $

$-12 + 3\frac{1-(1+i)^{-6}}{i}+2(1+i)^{-6}=0 $

$-12i + 3[1-(1+i)^{-6}]+2i(1+i)^{-6}=0 $

$-12i + 3 - 3(1+i)^{-6}+2i(1+i)^{-6}=0 $

$-12i(1+i)^6 + 3(1+i)^6 - 3 + 2i = 0 $

Ora qui non è che ci sia molto da fare, l'equazione è di grado $7$ nel tasso di interesse $i$, l'unica speranza è sviluppare $(1 + i)^6 $ e sperare che venga fuori qualcosa di addomesticabile, altrimenti vedo realizzabile solo la soluzione numerica. Si ha:

$ - 12i(1 + 6 i + 15 i^2 + 20 i^3 + 15 i^4 + 6 i^5 + i^6) + 3(1 + 6 i + 15 i^2 + 20 i^3 + 15 i^4 + 6 i^5 + i^6) + $
$ - 3 + 2i = 0 $
$ - 12i - 72 i^2 - 180 i^3 - 240 i^4 - 180 i^5 - 72 i^6 - 12i^7 + 3 + 18 i + 45 i^2 + 60 i^3 + 45 i^4 + 18 i^5 + $
$ +3i^6 - 3 + 2i = 0 $

C'è di buono che i termini noti si semplificano e quindi possiamo raccogliere $i$ ed ovviamente la soluzione $i = 0 $ non è accettabile. Perciò si ha:

$ - 12 - 72 i - 180 i^2 - 240 i^3 - 180 i^4 - 72 i^5 - 12i^6 + 18 + 45 i + 60 i^2 + 45 i^3 + 18 i^4 +3i^5 + 2 = 0 $

$ - 12i^6 - 69i^5 - 162 i^4 - 195i^3 - 120i^2 - 27 i + 8 = 0 $

$ 12i^6 + 69i^5 + 162 i^4 + 195i^3 + 120i^2 + 27 i - 8 = 0 $

Se non ho sbagliato a fare i conti quest'ultima porge l'unica soluzione reale accettabile (l'altra reale è negativa e le altre $4$ sono complesse coniugate) $i = 0,156306 ~~ 15,63 \% $

[RenzoDF]

"ironhak":... Qualche idea? ...

Può sempre essere un typo.

Da dove arriva questo esercizio?

Dipende ovviamente dal contesto nel quale quell’esercizio é stato proposto, ma visto che la soluzione non può che essere numerica (Abel) credo sia molto difficile che quel testo sia corretto.