Trovare tutte le \(f\) tali che se \(x^2 \le y \le x^3\) allora \( f(x)^2 \le f(y) \le f(x)^3 \)

[Sk_Anonymous]

Supponiamo che \(f : (1,\infty) \to (1,\infty) \) sia tale che, per ogni \( x,y \in (1,\infty)\) con \(x^2 \le y \le x^3\), si abbia \[f(x)^2 \le f(y) \le f(x)^3.\]La mia congettura e' che tutte e sole le \(f\) possibili siano del tipo \(f(x)=x^k\) con \(k>0\); esiste un modo (ovvio) per dimostrarlo?

[Ernesto011]

Edit: scusa era tardi, non è vero che $(f+g)/2$ è ancora soluzione. Lascio comunque quel che ho scritto che magari può essere utile.

Se $f,g$ soddisfano le ipotesi allora anche $(f+g)/2$ soddisfano le ipotesi. Se l'insieme delle funzioni che soddisfano quelle ipotesi ha almeno due elementi, allora è facile dimostrare che la tua congettura è falsa. Infatti prese due funzioni di quell'insieme la loro somma diviso 2 non è piu del tipo $x^k$.

[Sk_Anonymous]

A posteriori la mia "congettura" è corretta (cfr. qui, problema B5). Rimane da capire se esiste una soluzione "più ovvia".

[dissonance]

Non credo. Questi problemi possono facilmente essere molto difficili. Si tratta di una variazione sul tema dell'equazione funzionale di Cauchy. Infatti, come si vede nella soluzione, ci si riconduce a dimostrare che una certa funzione \(h\) verifica \(h(x)=x+c\) con un cambio di variabile esponenziale (applicato due volte, cosa che mi è sembrata molto furba).

C'è un famoso libro su queste cose, di Aczèl: https://books.google.es/books?id=n7vckU ... &q&f=false

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Non credo. Questi problemi possono facilmente essere molto difficili. Si tratta di una variazione sul tema dell'equazione funzionale di Cauchy. Infatti, come si vede nella soluzione, ci si riconduce a dimostrare che una certa funzione \(h\) verifica \(h(x)=x+c\) con un cambio di variabile esponenziale (applicato due volte, cosa che mi è sembrata molto furba).

C'è un famoso libro su queste cose, di Aczèl: https://books.google.es/books?id=n7vckU ... &q&f=false

Illuminante come sempre, grazie.