Trovare superficie massima o minima
Una lattina cilindrica ha raggio r e altezza h. se S indica la superficie e V il Volume della lattina trovare, fissato S, quale può essere il volume massimo
1) Sh/6
2) Sh/2
3) Sh/3
4) Sh/4
seguendo la discussione: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=196439
massimizzare il volume: V= $ pir^2*h $
sotto condizioni: S= $ 2pir*h+2(pir^2) $
mi date una mano nell'impostazione?
Grazie!
1) Sh/6
2) Sh/2
3) Sh/3
4) Sh/4
seguendo la discussione: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=196439
massimizzare il volume: V= $ pir^2*h $
sotto condizioni: S= $ 2pir*h+2(pir^2) $
mi date una mano nell'impostazione?
Grazie!
Risposte
Ciao cri98,
Si tratta di un problema di massimo molto simile a quello che tu stessa hai postato qualche tempo fa qui.
Si tratta di un problema di massimo molto simile a quello che tu stessa hai postato qualche tempo fa qui.
Ciao cri98 !
Come dice giustamente pilloeffe, questo è un problema che hai già trattato in altre occasioni e, essendo un problema di massimo/minimo ricorrente, a parte lo svolgimento in sé, ti consiglio di capire bene il perché di quei passaggi matematici e, in caso di dubbi, di non esitare a chiedere delucidazioni al riguardo. Sono più che certo che troverai sempre qualcuno qui sul forum disposto a spiegarti pazientemente i motivi dei vari passaggi. Inoltre, ricordati sempre che i tuoi professori sono pagati per chiarire i dubbi degli studenti, quindi vai e stressali finché non ne avranno abbastanza di te, "fregandotene" se dai disturbo; dopotutto è il loro lavoro
Detto questo noto che hai già scritto, correttamente, il volume e la superficie totale e questo è il primo passo da fare. A questo punto, l'obiettivo è massimizzare il volume studiandone la derivata prima, il quale dipende, però, da due variabili, r e h. Dunque andiamo a scrivere la relazione tra l'una e l'altra sfruttando la formula della superficie (che è costante) ottenendo: $h=(S-2pi*r^2)/(2pi*r)$. Sostituendo nella formula del volume, si ha: $V=pi*r^2*(S-2pi*r^2)/(2pi*r)=(r*S)/2-pi*r^3$; derivando il volume rispetto all'unica incognita r si ha: $(dV)/(dr)=S/2-3pi*r^2$ e, studiando il segno di tale derivata si ottiene che il massimo si ha per $r=sqrt(S/(6pi))$ che, sostituita in $V=pi*r^2*h$ restituisce $V=pi*S/(6pi)*h=(S*h)/6$.
Saluti
Come dice giustamente pilloeffe, questo è un problema che hai già trattato in altre occasioni e, essendo un problema di massimo/minimo ricorrente, a parte lo svolgimento in sé, ti consiglio di capire bene il perché di quei passaggi matematici e, in caso di dubbi, di non esitare a chiedere delucidazioni al riguardo. Sono più che certo che troverai sempre qualcuno qui sul forum disposto a spiegarti pazientemente i motivi dei vari passaggi. Inoltre, ricordati sempre che i tuoi professori sono pagati per chiarire i dubbi degli studenti, quindi vai e stressali finché non ne avranno abbastanza di te, "fregandotene" se dai disturbo; dopotutto è il loro lavoro
Detto questo noto che hai già scritto, correttamente, il volume e la superficie totale e questo è il primo passo da fare. A questo punto, l'obiettivo è massimizzare il volume studiandone la derivata prima, il quale dipende, però, da due variabili, r e h. Dunque andiamo a scrivere la relazione tra l'una e l'altra sfruttando la formula della superficie (che è costante) ottenendo: $h=(S-2pi*r^2)/(2pi*r)$. Sostituendo nella formula del volume, si ha: $V=pi*r^2*(S-2pi*r^2)/(2pi*r)=(r*S)/2-pi*r^3$; derivando il volume rispetto all'unica incognita r si ha: $(dV)/(dr)=S/2-3pi*r^2$ e, studiando il segno di tale derivata si ottiene che il massimo si ha per $r=sqrt(S/(6pi))$ che, sostituita in $V=pi*r^2*h$ restituisce $V=pi*S/(6pi)*h=(S*h)/6$.Saluti
ciao ragazzi!
allora riguardando l'esercizio che mi aveva risolto pilloeffe ho avuto molti chiarimenti(non riuscivo più a trovarlo nella mia pagina personale).
considerando l'esercizio che vi ho proposto e ringrazio tantissimo BayMax per avermi aiutato nello svolgere l'esercizio ho bisogno di farvi alcune domande:
1) perchè considerate le due equazioni andiamo a risolvere rispetto all'altezza e non ad esempio rispetto ad r? cambierebbe qualcosa ?
poi tutto il resto per adesso mi sembra chiaro.
adesso provo a svolgere un esercizio simile è lo posto così mi date una mano a ragionare.
Grazie!
allora riguardando l'esercizio che mi aveva risolto pilloeffe ho avuto molti chiarimenti(non riuscivo più a trovarlo nella mia pagina personale).
considerando l'esercizio che vi ho proposto e ringrazio tantissimo BayMax per avermi aiutato nello svolgere l'esercizio ho bisogno di farvi alcune domande:
1) perchè considerate le due equazioni andiamo a risolvere rispetto all'altezza e non ad esempio rispetto ad r? cambierebbe qualcosa ?
poi tutto il resto per adesso mi sembra chiaro.
adesso provo a svolgere un esercizio simile è lo posto così mi date una mano a ragionare.
Grazie!
salve ragazzi!
ho considerato il seguente esercizio:
Una scatola di cartone senza coperchio, ha base quadrata. siano V e S rispettivamente Volume e Superficie della scatola. Fissata S quale può essere il volume massimo? quale può essere il volume minimo?
possibili risposte per il volume massimo:
1)$ 1/2 sqrt(S^3/27)$
2)$ 1/4 sqrt(S^3/3)$
3)$ 1/2 sqrt(S^3/9)$
4)$ 1/4 sqrt(S^3/27$
possibili risposte per il volume minimo
1) $ 2root(3)(3V^2) $
2) $ 3root(3)(4V^2) $
3) $ 2root(3)(4V^2) $
4) $ 3root(3)(2V^2) $
SVOLGIMENTO:
calcolo la superficie massima:
$ V=l^3$
$ S=l^2+4l^2=5l^2 $
risolvo la seconda equazione rispetto a l:
$ l=sqrt(S/5)$
sostituisco la formula ottenuta nell'volume:
$ V=sqrt(S^3/125)$
adesso cerco di calcolare la derivata:
ottengo derivando rispetto ad S:
$ 1/(2sqrt(s^3/125))*3/125s^2 $ = $ 3/(250sqrt(s^3/125)) $
il calcolo della derivata è corretto?
Grazie!
ho considerato il seguente esercizio:
Una scatola di cartone senza coperchio, ha base quadrata. siano V e S rispettivamente Volume e Superficie della scatola. Fissata S quale può essere il volume massimo? quale può essere il volume minimo?
possibili risposte per il volume massimo:
1)$ 1/2 sqrt(S^3/27)$
2)$ 1/4 sqrt(S^3/3)$
3)$ 1/2 sqrt(S^3/9)$
4)$ 1/4 sqrt(S^3/27$
possibili risposte per il volume minimo
1) $ 2root(3)(3V^2) $
2) $ 3root(3)(4V^2) $
3) $ 2root(3)(4V^2) $
4) $ 3root(3)(2V^2) $
SVOLGIMENTO:
calcolo la superficie massima:
$ V=l^3$
$ S=l^2+4l^2=5l^2 $
risolvo la seconda equazione rispetto a l:
$ l=sqrt(S/5)$
sostituisco la formula ottenuta nell'volume:
$ V=sqrt(S^3/125)$
adesso cerco di calcolare la derivata:
ottengo derivando rispetto ad S:
$ 1/(2sqrt(s^3/125))*3/125s^2 $ = $ 3/(250sqrt(s^3/125)) $
il calcolo della derivata è corretto?
Grazie!
Ciao cri98,
No, semplicemente perché $S $ è fissata, è una costante...
Attenzione che il testo del problema specifica solo che la scatola di cartone è a base quadrata, ma non dice nulla in merito all'altezza $h $ che hai assunto piuttosto arbitrariamente pari a $l $...
"cri98":
il calcolo della derivata è corretto?
No, semplicemente perché $S $ è fissata, è una costante...
Attenzione che il testo del problema specifica solo che la scatola di cartone è a base quadrata, ma non dice nulla in merito all'altezza $h $ che hai assunto piuttosto arbitrariamente pari a $l $...
ciao pilloeffe
quindi dovrei considerare:
$ V=l^3$
$ S=l^2 $
$ l=sqrt(S)$
$ V=sqrt(S^3) $
otterei la dedrivata:
$ V=1/(2sqrt(S^3)$
Grazie!
quindi dovrei considerare:
$ V=l^3$
$ S=l^2 $
$ l=sqrt(S)$
$ V=sqrt(S^3) $
otterei la dedrivata:
$ V=1/(2sqrt(S^3)$
Grazie!
"cri98":
quindi dovrei considerare: [...]
No, non hai letto attentamente il mio post precedente, in particolare da qui:
"pilloeffe":
Attenzione che il testo del problema specifica solo che la scatola di cartone è a base quadrata, ma non dice nulla in merito all'altezza $h$ che hai assunto piuttosto arbitrariamente pari a $l$...
Si ha:
$V = l^2 h $
$S = l^2 + 4lh \implies h = \frac{S - l^2}{4l} $
Dunque si ha:
$V = V(l) = l^2 \cdot \frac{S - l^2}{4l} = l \cdot\frac{S - l^2}{4} = - l^3/4 + S/4 l $
ciao pilloeffe!
hai ragione avevo interpretato male il tuo consiglio
allora calcolo la derivata ed ottengo:
$ Vprime=S/4-3/4l^2 $
studiando il segno ottengo:
$ l=sqrt(S/3) $
sostituisco nella formula del volume
$ V=l^2*h=(sqrt(S/3))^2*h=((Sh)/3) $
seguendo il ragionamento dell'esercizio precedente vengo ad ottenere un risultato un pò ambiguo
Grazie!
hai ragione avevo interpretato male il tuo consiglio
allora calcolo la derivata ed ottengo:
$ Vprime=S/4-3/4l^2 $
studiando il segno ottengo:
$ l=sqrt(S/3) $
sostituisco nella formula del volume
$ V=l^2*h=(sqrt(S/3))^2*h=((Sh)/3) $
seguendo il ragionamento dell'esercizio precedente vengo ad ottenere un risultato un pò ambiguo
Grazie!
"cri98":
seguendo il ragionamento dell'esercizio precedente vengo ad ottenere un risultato un pò ambiguo
Non l'ho capita, comunque devi continuare ed esprimere il risultato in termini di $S $:
$ V = l \cdot\frac{S - l^2}{4} = sqrt(S/3) \cdot \frac{S - S/3}{4} = 1/2 \sqrt{S^3/27} $
Dunque la risposta corretta è la 1).
"cri98":
Grazie!
Prego!
ciao pilloeffe!
ok adesso ho capito.
ho provato a risolvere lo stesso esercizio cercando la superficie minima:
$V=l^2*h $
$ S=l^2+4lh $
$ sb=l^2$
$ sl=4lh $
la superficie laterale posso esprimerla come:
$ Sl=(4V)/l$
superficie da minimizzare:
$S=l^2+(4v)/l$
$Sprime= 2l-((4V)/l^2)$
studio il segno della derivata prima ed ottengo:
$l=root(3)(2V)$
$S=(root(3)2V)^2+(4V)/(root(3)(2V))=root(3)(4V^2)+ (4V)/(root(3)(2V))$
se il risultato è corretto come faccio ad esprimerlo come dato dalle possibili 4 soluzioni dell'esercizio?
Grazie!
ok adesso ho capito.
ho provato a risolvere lo stesso esercizio cercando la superficie minima:
$V=l^2*h $
$ S=l^2+4lh $
$ sb=l^2$
$ sl=4lh $
la superficie laterale posso esprimerla come:
$ Sl=(4V)/l$
superficie da minimizzare:
$S=l^2+(4v)/l$
$Sprime= 2l-((4V)/l^2)$
studio il segno della derivata prima ed ottengo:
$l=root(3)(2V)$
$S=(root(3)2V)^2+(4V)/(root(3)(2V))=root(3)(4V^2)+ (4V)/(root(3)(2V))$
se il risultato è corretto come faccio ad esprimerlo come dato dalle possibili 4 soluzioni dell'esercizio?
Grazie!
"cri98":
se il risultato è corretto come faccio ad esprimerlo come dato dalle possibili 4 soluzioni dell'esercizio?
La butto lì... Facendo il denominatore comune?
ciao pilloeffe
provo a calcolarlo:
$ (root(3)(1/2V)root(3)(4V^2)+4V)/root(3)(2V)$
come faccio ad ottenere questo risultato?
$2root(3)(4V^2)$
Grazie!
provo a calcolarlo:
$ (root(3)(1/2V)root(3)(4V^2)+4V)/root(3)(2V)$
come faccio ad ottenere questo risultato?
$2root(3)(4V^2)$
Grazie!
"cri98":
provo a calcolarlo: [...]
cri98... Non so che facoltà tu stia frequentando, ma non saper fare un denominatore comune è comunque piuttosto grave...
$ S = root(3)(4V^2) + (4V)/(root(3)(2V)) = \frac{root(3)(4V^2) \cdot root(3)(2V) + 4V}{root(3)(2V)} = \frac{root(3)(8V^3) + 4V}{root(3)(2V)} = \frac{6V}{root(3)(2V)} = root[3]{\frac{216V^3}{2V}} = 3 root[3]{4V^2} $
Pertanto la risposta corretta è la 2).
ciao Pilloeffe
per il denominatore comune non ho problemi quello che non sapevo era come comportarmi con la radice cubica.
adesso ho capito ed è molto più semplice di quanto immaginavo.
poi noto che la soluzione che abbiano ottenuto è differente, l'esercizio mi dava come soluzione 2root(3)(4V^2)
Grazie per il tuo aiuto
ho bisogno di un suggerimento:
considerando un esercizio simile:
l'area del rettangolo di area massima iscritto in una circonferenza di raggio R vale:
1) $R^2/2$
2) $R^2$
3) $3/2R^2$
4) $2R^2 $
pensavo di considerare l'area dell'rettangolo
$ A=bxh $
area del cerchio:
$ A=pir^2 $
poi considero la formula del raggio$ r=sqrt(A/pi)$
sono giuste e sufficienti per approcciarmi all'esercizio?
ancora tante Grazie
per il denominatore comune non ho problemi quello che non sapevo era come comportarmi con la radice cubica.
adesso ho capito ed è molto più semplice di quanto immaginavo.
poi noto che la soluzione che abbiano ottenuto è differente, l'esercizio mi dava come soluzione 2root(3)(4V^2)
Grazie per il tuo aiuto
ho bisogno di un suggerimento:
considerando un esercizio simile:
l'area del rettangolo di area massima iscritto in una circonferenza di raggio R vale:
1) $R^2/2$
2) $R^2$
3) $3/2R^2$
4) $2R^2 $
pensavo di considerare l'area dell'rettangolo
$ A=bxh $
area del cerchio:
$ A=pir^2 $
poi considero la formula del raggio$ r=sqrt(A/pi)$
sono giuste e sufficienti per approcciarmi all'esercizio?
ancora tante Grazie
"cri98":
[...] quello che non sapevo era come comportarmi con la radice cubica
Eh, ma anche questo non va bene: ripeto, non so che facoltà stai frequentando, ma se durante un esame di Analisi matematica scritto od orale si viene a scoprire che hai lacune su queste cose ti massacrano...
"cri98":
poi noto che la soluzione che abbiano ottenuto è differente, l'esercizio mi dava come soluzione $2root(3)(4V^2) $
Per me è corretta la mia...
"cri98":
Grazie per il tuo aiuto
Prego!
"cri98":
ho bisogno di un suggerimento:
considerando un esercizio simile:
l'area del rettangolo di area massima inscritto in una circonferenza di raggio $R $ [...]
No, non ci sei: l'area della circonferenza non ti serve, e neanche la formula per il raggio, che dal testo del problema si deduce che è costante e pari a $R $. L'unica cosa che ti serve è l'area del rettangolo $A = b h $, poi basta esprimere $h $ in funzione di $b $ e del raggio $R $ ottenendo in tal modo una funzione della sola base $b $ del rettangolo inscritto: $A = A(b) $
ciao Pilloeffe!
allora:
$ A=b xh $
costruendo un disegno e chiamando la base AB e l'altezza BC ed il centro O come mostrato qui:http://matepratica.it/2012/03/massimi-e-minimi-problema-7.html
ottengo:
$ h=sqrt(4r^2-b^2)$
$ A=b x h=b x sqrt(4r^2-b^2) $
$ Aprime(b)=2 * (2r^2-b^2)/sqrt(4r^2-b^2)$
studio del degno della derivata prima:
$ N:2r^2-b^2>=0 $ si ottiene$ b<=sqrt(2)r$
il denominatore è sempre positivo
adesso sostituisco$ b=sqrt(2)r$ in A e trovo l'area massima
$A(max)=b x sqrt(4r^2-b^2) $
ottengo:
$A=2r^2$
adesso volevo provare a calcolare l'area minima con lo stesso esercizio.
in questo caso devo sempre considerare la formula dell'area:
$A=b x h$
in questo caso dovrei considerare un ulteriore formula come quella della base o quella dell'altezza del rettangolo?
Grazie per il tuo immenso aiuto
allora:
$ A=b xh $
costruendo un disegno e chiamando la base AB e l'altezza BC ed il centro O come mostrato qui:http://matepratica.it/2012/03/massimi-e-minimi-problema-7.html
ottengo:
$ h=sqrt(4r^2-b^2)$
$ A=b x h=b x sqrt(4r^2-b^2) $
$ Aprime(b)=2 * (2r^2-b^2)/sqrt(4r^2-b^2)$
studio del degno della derivata prima:
$ N:2r^2-b^2>=0 $ si ottiene$ b<=sqrt(2)r$
il denominatore è sempre positivo
adesso sostituisco$ b=sqrt(2)r$ in A e trovo l'area massima
$A(max)=b x sqrt(4r^2-b^2) $
ottengo:
$A=2r^2$
adesso volevo provare a calcolare l'area minima con lo stesso esercizio.
in questo caso devo sempre considerare la formula dell'area:
$A=b x h$
in questo caso dovrei considerare un ulteriore formula come quella della base o quella dell'altezza del rettangolo?
Grazie per il tuo immenso aiuto
"cri98":
ottengo: $A=2r^2 $
Beh, in realtà tu avevi $R $, quindi si ha $A_{max} = 2R^2 $ e la risposta corretta è la 4).
"cri98":
adesso volevo provare a calcolare l'area minima con lo stesso esercizio.
Non ce la fai perché il minimo ti verrebbe per $b = -\sqrt{2} R $ che chiaramente è un valore che non può essere accettato. Ci puoi però arrivare ragionando, dato che l'area minima evidentemente è $A_{min} = 0 $: in quali casi?
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