Trovare rapidamente i coefficienti di una serie di Fourier
Avendo una serie di Fourier associata ad una funzione 2-pi periodica
è richiesto di trovare a1, e b2 in maniera immediata, quindi senza calcolare l'integrale di\(\displaystyle f(x)cos(nx) \wedge n=1 \) e di \(\displaystyle f(x)sin(nx) \wedge n=2 \).
in che modo è possibile farlo?
\(\displaystyle f(x)=1+sinx-cosx \)
è richiesto di trovare a1, e b2 in maniera immediata, quindi senza calcolare l'integrale di\(\displaystyle f(x)cos(nx) \wedge n=1 \) e di \(\displaystyle f(x)sin(nx) \wedge n=2 \).
in che modo è possibile farlo?
Risposte
Per trovare $a_1$ devi integrare $f(x)cos(1*x)$, mentre per trovare $b_2$ devi integrare $f(x)sen(2x)$, sostituendo appunto in un caso $n=1$ e nell'altro $n=2$. Prova ad usare le proprietà delle funzioni pari e dispari:
in generale, la somma di una funzione pari e di una dispari non è né pari né dispari;
la somma di due funzioni pari è a sua volta pari, ed il prodotto di una funzione pari per una costante è pure pari;
la somma di due funzioni dispari è a sua volta dispari, ed il prodotto di una funzione dispari per una costante è pure dispari;
il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari;
il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari;
il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari;
la derivata di una funzione pari è dispari;
la derivata di una funzione dispari è pari;
l'integrale su intervalli del tipo $[-a,a]$ di una funzione dispari è 0;
l'integrale definito su intervalli del tipo $[-a,a]$ di funzioni pari, ha come risultato il doppio dell'integrale calcolato solo nell'intervallo $[0,a]$.
Ricorda che seno è una funzione dispari e coseno pari e che l'integrale del quadrato del coseno (o del seno) in un intervallo di lunghezza $2pi$ (ad esempio $[0,2pi]$ o $[-pi,pi]$) è uguale a $pi$
in generale, la somma di una funzione pari e di una dispari non è né pari né dispari;
la somma di due funzioni pari è a sua volta pari, ed il prodotto di una funzione pari per una costante è pure pari;
la somma di due funzioni dispari è a sua volta dispari, ed il prodotto di una funzione dispari per una costante è pure dispari;
il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari;
il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari;
il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari;
la derivata di una funzione pari è dispari;
la derivata di una funzione dispari è pari;
l'integrale su intervalli del tipo $[-a,a]$ di una funzione dispari è 0;
l'integrale definito su intervalli del tipo $[-a,a]$ di funzioni pari, ha come risultato il doppio dell'integrale calcolato solo nell'intervallo $[0,a]$.
Ricorda che seno è una funzione dispari e coseno pari e che l'integrale del quadrato del coseno (o del seno) in un intervallo di lunghezza $2pi$ (ad esempio $[0,2pi]$ o $[-pi,pi]$) è uguale a $pi$
La serie di fourier, se esiste, è unica...nel tuo caso basta prendere $a_0=1$, $a_1=-1$ e $b_1=1$, gli altri termini sono tutti nulli.
"Vulplasir":
La serie di fourier, se esiste, è unica...nel tuo caso basta prendere $a_0=1$, $a_1=-1$ e $b_1=1$, gli altri termini sono tutti nulli.
Ok grazie,credo di avere capito ma allora non dovrebbe essere \(\displaystyle a_0=2 \)?
"matteoorlandini":
Per trovare $ a_1 $ devi integrare $ f(x)cos(1*x) ...
grazie matteo per la tua risposta ma intendevo proprio "a colpo d'occhio"
Ho notato che si usano più definizioni per $a_0$: molte volte $a_0=1/pi int_(-pi)^pi f(x)dx$ quindi è il doppio del valore medio di f(x). Ricostruendo $f(x)$ come serie di Fourier hai $f(x)=(a_0)/2+sum_(k=1)^(+oo) a_kcos(kx)+b_ksen(kx)$, nota che $a_0/2$ è il valore medio della funzione.
Usando $a_0$ come valore medio della funzione ottieni 1 poiché il valore medio del coseno è zero, del seno è zero, ti rimane solo il valore medio di 1 che è 1.
Oppure per l'unicità dei coefficienti di Fourier 1 è il coefficiente della funzione non periodica.
Usando $a_0$ come valore medio della funzione ottieni 1 poiché il valore medio del coseno è zero, del seno è zero, ti rimane solo il valore medio di 1 che è 1.
Oppure per l'unicità dei coefficienti di Fourier 1 è il coefficiente della funzione non periodica.
Si in effetti $a_0=2$ se per $a_0$ si intende il valor medio
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