Trovare quando un campo vettoriale non è definito
Ciao a tutti
mi trovo davanti al seguente quesito:
Dato il campo vettoriale $vec(G)(x,y,z)$ definito come
$vec(G)(x,y,z) = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} ( ( -y ),( x ),( 0 ) )$
indicare quando il campo non è definito.
La mia idea è:
a quanto mi risulta (ma potrei sbagliarmi) un campo non è definito quando almeno una delle sue componenti assume valori non definiti (radice quadrata di un numero negativo, infinito, etc)
Se quello che ho appena scritto è corretto, significherebbe che, in questo caso il denominatore della funzione mi viene nullo solo quando sia $x$ che $y$ sono zero. Questo però porterebbe anche il numeratore della prima e della seconda componente a zero, dandomi quindi una forma indeterminata.
Se non avessi un vettore, ma una funzione proverei a ragionare con "de l'hopital", ma sinceramente non so come applicarlo nel caso di un campo vettoriale.
Qualcuno saprebbe darmi indicazioni?
Grazie mille a tutti
mi trovo davanti al seguente quesito:
Dato il campo vettoriale $vec(G)(x,y,z)$ definito come
$vec(G)(x,y,z) = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} ( ( -y ),( x ),( 0 ) )$
indicare quando il campo non è definito.
La mia idea è:
a quanto mi risulta (ma potrei sbagliarmi) un campo non è definito quando almeno una delle sue componenti assume valori non definiti (radice quadrata di un numero negativo, infinito, etc)
Se quello che ho appena scritto è corretto, significherebbe che, in questo caso il denominatore della funzione mi viene nullo solo quando sia $x$ che $y$ sono zero. Questo però porterebbe anche il numeratore della prima e della seconda componente a zero, dandomi quindi una forma indeterminata.
Se non avessi un vettore, ma una funzione proverei a ragionare con "de l'hopital", ma sinceramente non so come applicarlo nel caso di un campo vettoriale.
Qualcuno saprebbe darmi indicazioni?
Grazie mille a tutti
Risposte
Aspetta, come sei arrivato a ragionare con de l'hopital? Non stai risolvendo un limite.
Devi semplicemente dire quando le componenti del vettore sono definite. E lo sono, come hai giustamente detto, su tutto $RR^2$ esclusa l'origine degli assi.
Poi se vuoi controllare se la funzione è prolungabile per continuità (forse questo intendevi?) devi controllare se esiste finito il limite per $(x,y) \to (0,0)$.
Devi semplicemente dire quando le componenti del vettore sono definite. E lo sono, come hai giustamente detto, su tutto $RR^2$ esclusa l'origine degli assi.
Poi se vuoi controllare se la funzione è prolungabile per continuità (forse questo intendevi?) devi controllare se esiste finito il limite per $(x,y) \to (0,0)$.
Si Antimius
Mi sono spiegato malissimo
In tal caso però mi trovo davanti al problema che ho indicato
Mi sono spiegato malissimo
In tal caso però mi trovo davanti al problema che ho indicato
Il problema si riduce al calcolo dei limiti delle singole componenti.
Ad esempio, proviamo col primo: [tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{-y}{x^2+y^2}$[/tex].
Lascia stare De L'Hopital che è un teorema per funzioni reali di variabile reale.
In ogni caso, ci si rende conto che tale limite, anche se esistesse, non è finito. Infatti, chiamata [tex]$g_1(x,y)$[/tex] la prima componente, ottieni il limite della restrizione [tex]$g_1(x,x)=\frac{-1}{2x} \stackrel{x \to 0^+}{\to} -\infty$[/tex].
Perciò la prima componente non è prolungabile per continuità. A questo punto, non è neanche necessario controllare le altre
Ad esempio, proviamo col primo: [tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{-y}{x^2+y^2}$[/tex].
Lascia stare De L'Hopital che è un teorema per funzioni reali di variabile reale.
In ogni caso, ci si rende conto che tale limite, anche se esistesse, non è finito. Infatti, chiamata [tex]$g_1(x,y)$[/tex] la prima componente, ottieni il limite della restrizione [tex]$g_1(x,x)=\frac{-1}{2x} \stackrel{x \to 0^+}{\to} -\infty$[/tex].
Perciò la prima componente non è prolungabile per continuità. A questo punto, non è neanche necessario controllare le altre
[mod="Martino"]Sposto in analisi matematica. Attenzione alla sezione, grazie.[/mod]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo