Trovare punti di massimo e di minimo di una funzione a due variabili
Buongiorno a tutti!
Tra poche settimane dovrò affrontare l'esame di Analisi2 e non mi sento molto sicura su questo argomento. Adesso scrivo il testo di un esercizio e poi illustro come ho portato avanti l'esercizio io.
"Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo della funzione $g(x, y) = sqrt(x^2-y^2+1)$ "
Allora essendo una radice quadrata io ho dedotto che fosse inferiormente limitata quindi che debba avere per forza un punto di minimo. per prima cosa ho calcolato le derivate parziali.
$fx= x/sqrt(x^2-y^2+1)$e $fy=-y/sqrt(x^2-y^2+1)$quindi in definitiva avrei come punto stazionario il punto (0,0); tuttavia quando vado a calcolare le derivate seconde per fare la matrice Hessiana mi vengono (calcolato in (0,0)) fxx=1, fyy=-1 e fxy=fyx=0. Quindi il punto (0,0) risulta essere sella. Ecco..da qui in poi io non so più cosa fare..Potresti aiutarmi?
Grazie in anticipo!
Tra poche settimane dovrò affrontare l'esame di Analisi2 e non mi sento molto sicura su questo argomento. Adesso scrivo il testo di un esercizio e poi illustro come ho portato avanti l'esercizio io.
"Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo della funzione $g(x, y) = sqrt(x^2-y^2+1)$ "
Allora essendo una radice quadrata io ho dedotto che fosse inferiormente limitata quindi che debba avere per forza un punto di minimo. per prima cosa ho calcolato le derivate parziali.
$fx= x/sqrt(x^2-y^2+1)$e $fy=-y/sqrt(x^2-y^2+1)$quindi in definitiva avrei come punto stazionario il punto (0,0); tuttavia quando vado a calcolare le derivate seconde per fare la matrice Hessiana mi vengono (calcolato in (0,0)) fxx=1, fyy=-1 e fxy=fyx=0. Quindi il punto (0,0) risulta essere sella. Ecco..da qui in poi io non so più cosa fare..Potresti aiutarmi?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ma il dominio della funzione qual è? Perché è fondamentale conoscerlo. Quando si analizzano problemi di estremo, bisogna comunque sapere cosa fa la funzione. In questo caso, ad esempio, per il dominio avrai
$$x^2-y^2+1\ge 0$$
che rappresenta una iperbole equilatera centrata nell'origine, con fuochi sull'asse delle y, e la parte "interna" ai due rami dell'iperbole (cioè la porzione di piano contenente l'origine) (guarda qui).
Per cui come dicevi l'origine è un punto critico. Dal momento che le derivate seconde valgono
$$f_{xx}=\frac{1-y^2}{(x^2-y^2+1)^{3/2}},\qquad f_{yy}=-\frac{x^2+1}{(x^2-y^2+1)^{3/2}},\qquad f_{xy}=-\frac{x^2}{(x^2-y^2+1)^{3/2}}$$
L'hessiana in $(0,0)$ vale $-1$ e quindi si ha una sella. Inoltre poiché la funzione è sempre maggiore o uguale a zero, e vale zero quando $x^2-y^2+1=0$ cioè sui rami dell'iperbole, puoi concludere che tutti questi punti rappresentano un minimo assoluto della funzione stessa. La funzione non ha massimi assoluti: per esempio se consideri il suo andamento lungo l'asse $x$ (quindi con $y=0$) per $x\to \infty$ il suo valore cresce indefinitamente.
$$x^2-y^2+1\ge 0$$
che rappresenta una iperbole equilatera centrata nell'origine, con fuochi sull'asse delle y, e la parte "interna" ai due rami dell'iperbole (cioè la porzione di piano contenente l'origine) (guarda qui).
Per cui come dicevi l'origine è un punto critico. Dal momento che le derivate seconde valgono
$$f_{xx}=\frac{1-y^2}{(x^2-y^2+1)^{3/2}},\qquad f_{yy}=-\frac{x^2+1}{(x^2-y^2+1)^{3/2}},\qquad f_{xy}=-\frac{x^2}{(x^2-y^2+1)^{3/2}}$$
L'hessiana in $(0,0)$ vale $-1$ e quindi si ha una sella. Inoltre poiché la funzione è sempre maggiore o uguale a zero, e vale zero quando $x^2-y^2+1=0$ cioè sui rami dell'iperbole, puoi concludere che tutti questi punti rappresentano un minimo assoluto della funzione stessa. La funzione non ha massimi assoluti: per esempio se consideri il suo andamento lungo l'asse $x$ (quindi con $y=0$) per $x\to \infty$ il suo valore cresce indefinitamente.
Hai ragione..quindi come mi consigli di procedere?
Scusa, ho detto una cavolata io. L'origine sta nel dominio (che infatti è composto dalla porzione di piano contenuta tra i due rami). Ho corretto sopra.
Osservazione: Non c'era bisogno di calcolare le derivate seconde.
"ciampax":
Scusa, ho detto una cavolata io. L'origine sta nel dominio (che infatti è composto dalla porzione di piano contenuta tra i due rami). Ho corretto sopra.
ecco infatti quella cosa non mi tornava molto.. ti ringrazio per la pazienza. Buona giornata!
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