Trovare per quali $\alpha\in\mathbb{R}$ la f(x) è limitata
Ciao a tutti questo è un quesito capitatomi al mio ultimo esame di Analisi 1. Ditemi se ho risposto correttamente oppure se è sbagliato qualcosa. Ah la risposta secondo me è troppo facile, quindi sicuramente ci sarà qualcosa di sbagliato.
Al variare del parametro reale $\alpha$ e sia $f_\alpha : \mathbb{R}-[0,3]\to \mathbb{R}$ così definita
\[\displaystyle f_\alpha = x \cos\left(\left(\frac{5x}{x-3}\right)^\alpha\right) \]
Stabilire se esistono valori di $\alpha$ in corrispondenza ai quali $f_\alpha$ è limitata e in caso affermativo, determinarli
io ho risposto così
non è mai limitata per nessun valore di $\alpha\in\mathbb{R}$ perchè se faccio il limite per $x\to \pm\infty$ il coseno rimane limitato moltplicato per una quantità all'infinito.
Il coseno si annulla in $\pi/2$ e in $-\pi/2$, il suo valore al suo interno in questo caso tende a $5^\alpha$ che non è mai zero.
Per cui $f(x)$ non è mai limitata per nessun $\alpha$
Ecco mi sembra troppo semplice. Controllate e ditemi. Grazie in anticipo.
Al variare del parametro reale $\alpha$ e sia $f_\alpha : \mathbb{R}-[0,3]\to \mathbb{R}$ così definita
\[\displaystyle f_\alpha = x \cos\left(\left(\frac{5x}{x-3}\right)^\alpha\right) \]
Stabilire se esistono valori di $\alpha$ in corrispondenza ai quali $f_\alpha$ è limitata e in caso affermativo, determinarli
io ho risposto così
non è mai limitata per nessun valore di $\alpha\in\mathbb{R}$ perchè se faccio il limite per $x\to \pm\infty$ il coseno rimane limitato moltplicato per una quantità all'infinito.
Il coseno si annulla in $\pi/2$ e in $-\pi/2$, il suo valore al suo interno in questo caso tende a $5^\alpha$ che non è mai zero.
Per cui $f(x)$ non è mai limitata per nessun $\alpha$
Ecco mi sembra troppo semplice. Controllate e ditemi. Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao!
E se $alpha=log_5(pi/2)$?
Comunque,se quel che hai scritto corrisponde in toto a quanto hai fatto nel compito,
la svista è evidente mentre il resto del ragionamento fila:
mica è detto che l'insegnante lo ritenga da buttar via!
Saluti dal web.
E se $alpha=log_5(pi/2)$?
Comunque,se quel che hai scritto corrisponde in toto a quanto hai fatto nel compito,
la svista è evidente mentre il resto del ragionamento fila:
mica è detto che l'insegnante lo ritenga da buttar via!
Saluti dal web.
"theras":
Ciao!
E se $alpha=log_5(pi/2)$?
Comunque,se quel che hai scritto corrisponde in toto a quanto hai fatto nel compito,
la svista è evidente mentre il resto del ragionamento fila:
mica è detto che l'insegnante lo ritenga da buttar via!
Saluti dal web.
se è come hai detto tu verrebbe $5^{\log_5 (\pi/2)}$ che è uguale (grazie alla proprietà dei logaritmi) a $\pi/2$. E cavolo hai ragione!
per caso hai fatto questo ragionamento? Dimmi se è corretto.
$5^\alpha=\pi/2\rightarrow \alpha \log_5 5=\log_5 (\pi/2)\rightarrow \alpha=\log_5(\pi/2)$
accidenti dannata a me
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Esatto:
ho solo completato il tuo buon ragionamento iniziale
(non esposto benissimo perchè,per esser più corretto,avresti dovuto dimostrare che la tua funzione poteva esser resa maggiore d'un qualsiasi numero reale positivo e/o minore d'un qualunque numero reale negativo,
restringendo la tua attenzione ai valori di $x$ che rendon l'argomento del tuo coseno uguale a $2kpi$ con $k in ZZ$..)!
Saluti dal web.
ho solo completato il tuo buon ragionamento iniziale
(non esposto benissimo perchè,per esser più corretto,avresti dovuto dimostrare che la tua funzione poteva esser resa maggiore d'un qualsiasi numero reale positivo e/o minore d'un qualunque numero reale negativo,
restringendo la tua attenzione ai valori di $x$ che rendon l'argomento del tuo coseno uguale a $2kpi$ con $k in ZZ$..)!
Saluti dal web.
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