Trovare massimo e minimo di f(x) = sin(sinx)
Salve,
sto facendo il seguente esercizio:
La funzione f: R -> R definita da f(x) = sin(sin(x)):
a) ha minimo ma non ha massimo;
b) non ha ne massimo ne minimo;
c) ha massimo ma non ha minimo;
d) ha sia massimo che minimo.
pongo -1 <= sin x <= 1 che diventa -> sin(-1) <= sin(sin x) <= sin(1)
quindi ottengo che la risposta giusta è la d.
il mio dubbio sta nel fatto che se su geogebra, facendo f(x) = sin(sinx) ottengo una funzione simile a quella di sinx, con unica differenza il fatto che sin(sinx) non arriva a -1 oppure a 1 ma si ferma a [-0.8, 0.8].
Deduco per cui che sin(1) dovrebbe essere = a 0.8 , e invece è = a 0.017..
quindi non capisco se sin(1) sia corretto o se mi manca un passaggio.
Grazie a chiunque mi risponderà
Alberto
sto facendo il seguente esercizio:
La funzione f: R -> R definita da f(x) = sin(sin(x)):
a) ha minimo ma non ha massimo;
b) non ha ne massimo ne minimo;
c) ha massimo ma non ha minimo;
d) ha sia massimo che minimo.
pongo -1 <= sin x <= 1 che diventa -> sin(-1) <= sin(sin x) <= sin(1)
quindi ottengo che la risposta giusta è la d.
il mio dubbio sta nel fatto che se su geogebra, facendo f(x) = sin(sinx) ottengo una funzione simile a quella di sinx, con unica differenza il fatto che sin(sinx) non arriva a -1 oppure a 1 ma si ferma a [-0.8, 0.8].
Deduco per cui che sin(1) dovrebbe essere = a 0.8 , e invece è = a 0.017..
quindi non capisco se sin(1) sia corretto o se mi manca un passaggio.
Grazie a chiunque mi risponderà
Alberto
Risposte
Ciao Alberto02, benvenuto sul forum!
Purtroppo il tuo ragionamento non basta: così hai solamente dimostrato che la funzione $\sin(\sin x)$ è limitata su $\mathbb{R}$ (cosa che potevi già dedurre a priori, essendo un seno). Per dimostrare che $\sin 1$ e $\sin(-1)=-\sin 1$ sono massimo e minimo di $f$, devi dimostrare anche che esistono due punti $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ tali che $\sin(\sin x_1) =- \sin 1$ e $\sin(\sin x_2) = \sin 1$. Questo perché le disuguaglianze ti dicono solamente che $\sin 1$ è un maggiorante dell'immagine di $f$ e $-\sin 1$ è un minorante dell'immagine di $f$; ma questo non ti dice che sono massimo e minimo. Per convincertene, pensa ad una funzione più semplice tipo $g(x)=\cos x$: dato che il coseno è limitato tra $-1$ e $1$, hai che in particolare è $-7000 \le \cos x \le 15000$ ma questo non significa che $-7000$ è il minimo di $\cos x$ e $15000$ è il massimo di $\cos x$.
Per quanto riguarda il tuo dubbio su GeoGebra: stai facendo confusione perché lo strumento che stai usando tu per calcolare il seno sta calcolando il seno di un grado sessagesimale, mentre GeoGebra sta calcolando il seno di un radiante. In ogni caso, si tratta di valori approssimati: ad un esame, ti consiglio di scrivere $\sin (1 \ \text{rad}) \approx 0.8$ e $\sin(1°) \approx 0.017$ invece di usare l'uguaglianza.
"Alberto02":
pongo -1 <= sin x <= 1 che diventa -> sin(-1) <= sin(sin x) <= sin(1)
quindi ottengo che la risposta giusta è la d.
Purtroppo il tuo ragionamento non basta: così hai solamente dimostrato che la funzione $\sin(\sin x)$ è limitata su $\mathbb{R}$ (cosa che potevi già dedurre a priori, essendo un seno). Per dimostrare che $\sin 1$ e $\sin(-1)=-\sin 1$ sono massimo e minimo di $f$, devi dimostrare anche che esistono due punti $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ tali che $\sin(\sin x_1) =- \sin 1$ e $\sin(\sin x_2) = \sin 1$. Questo perché le disuguaglianze ti dicono solamente che $\sin 1$ è un maggiorante dell'immagine di $f$ e $-\sin 1$ è un minorante dell'immagine di $f$; ma questo non ti dice che sono massimo e minimo. Per convincertene, pensa ad una funzione più semplice tipo $g(x)=\cos x$: dato che il coseno è limitato tra $-1$ e $1$, hai che in particolare è $-7000 \le \cos x \le 15000$ ma questo non significa che $-7000$ è il minimo di $\cos x$ e $15000$ è il massimo di $\cos x$.
"Alberto02":
il mio dubbio sta nel fatto che se su geogebra, facendo f(x) = sin(sinx) ottengo una funzione simile a quella di sinx, con unica differenza il fatto che sin(sinx) non arriva a -1 oppure a 1 ma si ferma a [-0.8, 0.8].
Deduco per cui che sin(1) dovrebbe essere = a 0.8 , e invece è = a 0.017..
quindi non capisco se sin(1) sia corretto o se mi manca un passaggio.
Per quanto riguarda il tuo dubbio su GeoGebra: stai facendo confusione perché lo strumento che stai usando tu per calcolare il seno sta calcolando il seno di un grado sessagesimale, mentre GeoGebra sta calcolando il seno di un radiante. In ogni caso, si tratta di valori approssimati: ad un esame, ti consiglio di scrivere $\sin (1 \ \text{rad}) \approx 0.8$ e $\sin(1°) \approx 0.017$ invece di usare l'uguaglianza.
Si hai ragione, non tenevo conto della differenza tra radianti e gradi XD.
Comunque per quanto riguarda la questione del massimo e del minimo, avendo cosx so già che massimo e minimo sono rispettivamente -1 e 1 giusto?
e se il mio ragionamento è giusto avrò che, siccome [sin-1, sin1] è la definizione del codominio di f(x) = sin(sin x), sin-1 e sin1 sono i valori ai due estremi. Ne ho la conferma vedendo il grafico di sin(sinx), il cui codominio si ferma a [-0.84, 0.84] che è circa = a [sin- 1 rad, sin1 rad].
Ponendo x1, x2 non sarebbe una ripetizione? o comunque un'allungamento della risoluzione?
Comunque per quanto riguarda la questione del massimo e del minimo, avendo cosx so già che massimo e minimo sono rispettivamente -1 e 1 giusto?
e se il mio ragionamento è giusto avrò che, siccome [sin-1, sin1] è la definizione del codominio di f(x) = sin(sin x), sin-1 e sin1 sono i valori ai due estremi. Ne ho la conferma vedendo il grafico di sin(sinx), il cui codominio si ferma a [-0.84, 0.84] che è circa = a [sin- 1 rad, sin1 rad].
Ponendo x1, x2 non sarebbe una ripetizione? o comunque un'allungamento della risoluzione?
"Alberto02":
Comunque per quanto riguarda la questione del massimo e del minimo, avendo cosx so già che massimo e minimo sono rispettivamente -1 e 1 giusto?
Beh, per il coseno già lo sai perché sono funzioni "elementari" e quindi si studiano ampiamente prima dei corsi di analisi. Ma un argomento rigoroso va fatto per stabilire le loro proprietà, poi il tasso di rigore dell'argomento dipende dal livello dello studente. Comunque, era solo un esempio per mostrare che le definizioni di massimo/minimo richiedono un'altra condizione oltre alla disuguaglianza. Tu che cosa stai preparando? Analisi per un esame in qualche corso di laurea universitario?
"Alberto02":
siccome [sin-1, sin1] è la definizione del codominio di f(x) = sin(sin x), sin-1 e sin1 sono i valori ai due estremi
No, il codominio di $f$ è $\mathbb{R}$ come da te riportato nel testo dell'esercizio nel tuo primo messaggio. Probabilmente ti vuoi riferire all'immagine di $f$, ma l'immagine si deve determinare e, in generale, non bastano delle disuguaglianze per farlo.
"Alberto02":
Ne ho la conferma vedendo il grafico di sin(sinx), il cui codominio si ferma a [-0.84, 0.84] che è circa = a [sin- 1 rad, sin1 rad].
Il grafico non è una dimostrazione, anche perché il grafico lo ottieni tramite un calcolatore; prendi la funzione $h:(0,1) \to \mathbb{R}$ definita da $h(x)=x$. Dal grafico, sembra che il suo massimo sia $1$ e il suo minimo sia $0$; tuttavia, dato che né $0$ né $1$ appartengono all'insieme $(0,1)$, essi non vengono mai assunti dalla funzione $h(x)=x$ e quindi non sono massimo e minimo. Infatti, si dimostra che la funzione $h(x)=x$ non ammette massimo e minimo in $\mathbb{R}$.
"Alberto02":
Ponendo x1, x2 non sarebbe una ripetizione? o comunque un'allungamento della risoluzione?
Non ho capito che intendi con una ripetizione o con un allungamento della soluzione. Le definizioni di massimo/minimo per una funzione $f:A \to B$, con $A, B \subseteq \mathbb{R}$, sono: $M \in \mathbb{R}$ è massimo per una funzione $f$ se $f(x)\le M$ per ogni $x \in A$ ed esiste $x_1 \in A$ tale che $f(x_1)=M$. Similmente, $m\in\mathbb{R}$ è minimo per una funzione $f$ se $f(x) \ge m$ per ogni $x \in A$ ed esiste $x_2 \in A$ tale che $f(x_2)=m$. Quindi, come vedi, dopo aver esibito delle disuguaglianze come da te correttamente fatto in $-\sin 1 \le \sin(\sin x) \le \sin 1$, devi esibire anche almeno due valori $x_1,x_2$ nel dominio della funzione per i quali siano vere le uguaglianze.
Dato che il problema chiede solamente di dire se massimo e minimo esistono, non è necessario calcolari esplicitamente, ma bastano considerazioni più elementari.
Osserviamo che la funzione $f(x)=\sin(\sin(x))$ è una funzione continua su tutto $\mathbb(R)$ e - cosa più importante - è periodica di periodo $2\pi$, infatti:
$f(x+2\pi)=\sin(\sin(x+2\pi))=\sin(\sin(x))=f(x)$
E le funzioni continue periodiche ammettono massimo e minimo assoluti su $\mathbb(R)$ [sostanzialmente perché basta studiarle in un loro intervallo di periodicità, nel nostro caso in $[0,2\pi]$ che è compatto, dunque vale Weiestrass]
Una possibile alternativa può essere questa: consideriamo la funzione $f(t)=\sin(t)$ dove $t\in[-1,1]$.
Praticamente ho chiamato il $\sin x$ più interno $t$, che varia tra -1 e 1 poiché su tutto $\mathbb(R)$ ho che $\sin x \in [-1,1]$.
Allora la funzione $f(t)=\sin(t)$ è continua su un compatto e quindi ammette massimo e minimo assoluti.
In particolare, essendo il seno strettamente crescente in [-1,1], si avrà che il minimo è $\sin(-1)$ e il massimo è $\sin(1)$.
Osserviamo che la funzione $f(x)=\sin(\sin(x))$ è una funzione continua su tutto $\mathbb(R)$ e - cosa più importante - è periodica di periodo $2\pi$, infatti:
$f(x+2\pi)=\sin(\sin(x+2\pi))=\sin(\sin(x))=f(x)$
E le funzioni continue periodiche ammettono massimo e minimo assoluti su $\mathbb(R)$ [sostanzialmente perché basta studiarle in un loro intervallo di periodicità, nel nostro caso in $[0,2\pi]$ che è compatto, dunque vale Weiestrass]
Una possibile alternativa può essere questa: consideriamo la funzione $f(t)=\sin(t)$ dove $t\in[-1,1]$.
Praticamente ho chiamato il $\sin x$ più interno $t$, che varia tra -1 e 1 poiché su tutto $\mathbb(R)$ ho che $\sin x \in [-1,1]$.
Allora la funzione $f(t)=\sin(t)$ è continua su un compatto e quindi ammette massimo e minimo assoluti.
In particolare, essendo il seno strettamente crescente in [-1,1], si avrà che il minimo è $\sin(-1)$ e il massimo è $\sin(1)$.
@Lebesgue: Sì, il tuo approccio funziona e non è complicato, tuttavia mi sembra molto più elementare usare delle disuguaglianze e mostrare che esistono dei valori per cui valgono le uguaglianze (si vedono ad occhio, $x_1=-\pi/2$ e $x_2=\pi/2$). Insomma, questo problema si può risolvere anche prima di introdurre l'analisi, usando solamente la definizione di massimo e minimo e le proprietà elementari delle funzioni trigonometriche (limitatezza di $\text{sin}$ e crescente monotonia di $\text{sin}$ in $[-\pi/2,\pi/2]$). Il calcolo esplicito del massimo e del minimo è sì non richiesto, ma ci si arriva subito dalle disuguaglianze e quindi non richiede alcuno sforzo aggiuntivo. 
Comunque, stavo cercando di accompagnare Alberto02 verso la risoluzione
ma sicuramente il tuo approccio gli sarà utile anche in altri contesti!
Comunque, stavo cercando di accompagnare Alberto02 verso la risoluzione
ma sicuramente il tuo approccio gli sarà utile anche in altri contesti!
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