Trovare lo sviluppo in serie di Laurant.
1) E' la stessa cosa di quella di Taylor, giusto?
Ho capito come la si trova con funzioni tipo la prima
però del tipo come le ultime 2 no
come si fa? non è un "aggiustamaento" dello sviluppo in serie di Taylor come il primo tipo, quindi?[/quote]
Ho capito come la si trova con funzioni tipo la prima
però del tipo come le ultime 2 no
come si fa? non è un "aggiustamaento" dello sviluppo in serie di Taylor come il primo tipo, quindi?[/quote]
Risposte
Lo sviluppo di Laurent da un senso anche ai termini con indice negativo, che nello sviluppo di taylor erano strettamente non negativi.
Anche i coefficienti dei termini della serie, son diversi :
Taylor:
An=(d^n)/(dx^n)(Xo)/n!
Laurent:
An=1/(2+pi+j) * ( int su Y di : f(x)/(x-X0)^n)
Nel caso specifico non so aiutarti perchè non mi è chiara la scrittura delle espressioni ( ammetto che quelle che ho appena scritto potrebbero risultare altrettanto illeggibili...)
Anche i coefficienti dei termini della serie, son diversi :
Taylor:
An=(d^n)/(dx^n)(Xo)/n!
Laurent:
An=1/(2+pi+j) * ( int su Y di : f(x)/(x-X0)^n)
Nel caso specifico non so aiutarti perchè non mi è chiara la scrittura delle espressioni ( ammetto che quelle che ho appena scritto potrebbero risultare altrettanto illeggibili...)
come non è chiara la scrittura?
la prima è z^3 *e^(1/z)
la seconda è z - 3/(z-j) + 5/(z-j)
la terza è$ (sen(z - 1) - z + 1)/(z - 1)^3$
la prima è z^3 *e^(1/z)
la seconda è z - 3/(z-j) + 5/(z-j)
la terza è$ (sen(z - 1) - z + 1)/(z - 1)^3$
ma non si capisce?
ho modificato
up
In pratica comunque quando calcoli gli sviluppi in serie di Laurent non devi fare altro che sostituire alle varie funzioni le serie di Taylor e poi smanettare un po con le serie fino ad arrivare al risultato finale....
Ad esempio per la prima:
$ e^x = \sum_{k=0}^\infty x^k/(k!) $
Quindi:
$ e^{1/z} = \sum_{k=0}^\infty (1/z)^k/(k!) $
Ed:
$ z^3 e^{1/z} = \sum_{k=0}^\infty (1/z)^(k-3)/{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} z^{-k+3}/{k!} $
Questa, modulo errori eventuali di conto, e' la serie di Laurent (centrata in 0).
PS: Passa a MathML perche' le formule si fanno fatica a capire. La prima io la leggo come: $ e^{1}/z * z^3$!
Ad esempio per la prima:
$ e^x = \sum_{k=0}^\infty x^k/(k!) $
Quindi:
$ e^{1/z} = \sum_{k=0}^\infty (1/z)^k/(k!) $
Ed:
$ z^3 e^{1/z} = \sum_{k=0}^\infty (1/z)^(k-3)/{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} z^{-k+3}/{k!} $
Questa, modulo errori eventuali di conto, e' la serie di Laurent (centrata in 0).
PS: Passa a MathML perche' le formule si fanno fatica a capire. La prima io la leggo come: $ e^{1}/z * z^3$!
ti rispondo in pvt per il mathml, per l'esercizio vedo domani vista l'ora.
si ma poichè le altre di dopo non hanno gli sviluppi di taylor, come si fa?
"Bandit":
come non è chiara la scrittura?
la prima è $z^3 *e^(1/z)$
la seconda è $z - 3/(z-j) + 5/(z-j)$
la terza è$ (sen(z - 1) - z + 1)/(z - 1)^3$
Si applica sempre lo stesso metodo. Certo non si possono mica fare a mano quegli integrali di cui parla spassky!
Ad esempio per la 3za.
Posto:
$ x=z-1 $
Si ha:
$f(x)=(sin(x)-x)/(x^3)$
Siccome:
$sin(x)=\sum_{k=0}^\infty ((-1)^k x^{2k+1}) / ((2k+1)!)$
Allora:
$sin(x)-x = \sum_{k=1}^\infty ((-1)^k x^{2k+1}) / ((2k+1)!)$
E quindi:
$ (sin(x)-x)/(x^3) = \sum_{k=1}^\infty ((-1)^k x^{2k-2})/((2k+1)!) $
Per finire basta sostituire la $x$ con $z-1$ e il gioco e' bello che fatto! (modulo errori di conto che potrei aver fatto! )
Ad esempio per la 3za.
Posto:
$ x=z-1 $
Si ha:
$f(x)=(sin(x)-x)/(x^3)$
Siccome:
$sin(x)=\sum_{k=0}^\infty ((-1)^k x^{2k+1}) / ((2k+1)!)$
Allora:
$sin(x)-x = \sum_{k=1}^\infty ((-1)^k x^{2k+1}) / ((2k+1)!)$
E quindi:
$ (sin(x)-x)/(x^3) = \sum_{k=1}^\infty ((-1)^k x^{2k-2})/((2k+1)!) $
Per finire basta sostituire la $x$ con $z-1$ e il gioco e' bello che fatto! (modulo errori di conto che potrei aver fatto!
)
PS: La seconda non richiede alcun conto visto che e' gia' scritta sotto forma di serie di potenze di Laurent (basta raccogliere i termini)!
PS2: Ti consiglio di usare la scrittura "sin" in luogo di "sen" col MathML visto che in questo modo lui scrive non il nome della funzione in corsivo come se fosse un prodotto fra tre termini.....
PS2: Ti consiglio di usare la scrittura "sin" in luogo di "sen" col MathML visto che in questo modo lui scrive non il nome della funzione in corsivo come se fosse un prodotto fra tre termini.....
Chiedo scusa a bandit, ma non ho risposto a causa di una mia prolungata assenza da internet...
Comunque vedo che david ha risposto più che bene...
Comunque vedo che david ha risposto più che bene...
scusatemi anche voi, sono stato anche io assente per un pò. Auguri e grazie a tutti.
Ho capito la serie del seno, perà mi potresti dire il primo coefficiente della parte singolare?
E se poi stiamo nel caso di $3/(z^2 +1 )$ ? come si fa?
Ho capito la serie del seno, perà mi potresti dire il primo coefficiente della parte singolare?
E se poi stiamo nel caso di $3/(z^2 +1 )$ ? come si fa?
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