Trovare l'insieme di definizione della funzione:
\[\sqrt{ \log_{\frac{1}{2}} \arctan ( \frac{x - \pi}{x - 4}}) \]
per poter trovare il dominio della funzione devo mettere al sistema:
1) quella roba maggiore o uguale a zero?
2)l'argomento del logaritmo maggiore di zero?
3)x diverso da 4?
Nel caso fosse giusto la 1) non sarei poi tanto sicuro di poterla calcolare...quando la base è minore di 1, posso dire che quella roba è maggiore o uguale a zero se e solo se il suo argomento è compreso tra 0 e 1???
per poter trovare il dominio della funzione devo mettere al sistema:
1) quella roba maggiore o uguale a zero?
2)l'argomento del logaritmo maggiore di zero?
3)x diverso da 4?
Nel caso fosse giusto la 1) non sarei poi tanto sicuro di poterla calcolare...quando la base è minore di 1, posso dire che quella roba è maggiore o uguale a zero se e solo se il suo argomento è compreso tra 0 e 1???
Risposte
Cos'è "quella roba"?
Sarà il radicando?
sisi il radicando...
$f $ è definita quando $ \log_{\frac{1}{2}} \arctan ( \frac{x - \pi}{x - 4}) >=0 $
cioè $ 0 < \arctan ( \frac{x - \pi}{x - 4}) <=1 $
e perfino $ \ 0 < \frac{x - \pi}{x - 4} <= tan(1) $ (*)
Se $ x>4 $ allora (*) diviene .... $ x >= \frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} $
Se $ x < 4 $ allora (*) diviene .... $ x < \pi $ .
Finalmente , Il dominio della funzione $ f $ è $ ]-infty ; \pi[ uuu [\frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} ; + infty[ $ .
cioè $ 0 < \arctan ( \frac{x - \pi}{x - 4}) <=1 $
e perfino $ \ 0 < \frac{x - \pi}{x - 4} <= tan(1) $ (*)
Se $ x>4 $ allora (*) diviene .... $ x >= \frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} $
Se $ x < 4 $ allora (*) diviene .... $ x < \pi $ .
Finalmente , Il dominio della funzione $ f $ è $ ]-infty ; \pi[ uuu [\frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} ; + infty[ $ .
il risultato è giusto...non mi è tanto chiaro quando dici " e perfino..." e i casi in cui x è maggiore di 4 o minore...perchè?
Le funzioni $ tan : ] - \pi / 2 ; \pi /2 [ -> \RR $ e $atan : \RR -> ] - \pi / 2 ; \pi /2 [ $ sono reciproche
e anche sono strettamente crescenti . Questo spiega il passagio tra $ 0 < \arctan ( \frac{x - \pi}{x - 4}) <=1 $
e $ \ 0 < \frac{x - \pi}{x - 4} <= tan(1) $ (*) .
Se $ x>4 $ allora (*) diviene $ 0 < x- \pi <= ( x-4) tan(1) $
cioè $ x > \pi $ e $ ( tan(1)- 1 ) x >= 4 tan(1)- \pi $
.... $ x >\pi $ e $ x>= \frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} $ perché $ tan(1)- 1 > 0 $
e cosi abbiamo $ x>= \frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} $ perché $ \frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} > \pi $
Se $ x<4 $ allora (*) si scrive $ 0 > x- \pi >= ( x-4) tan(1) $
cioè $ x < \pi $ e $ ( tan(1)- 1 ) x <= 4 tan(1)- \pi $
.... $ x <\pi $ e $ x <= \frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} $
e quindi abbiamo $ x<\pi $
Spero che sia chiaro
Dominique .
e anche sono strettamente crescenti . Questo spiega il passagio tra $ 0 < \arctan ( \frac{x - \pi}{x - 4}) <=1 $
e $ \ 0 < \frac{x - \pi}{x - 4} <= tan(1) $ (*) .
Se $ x>4 $ allora (*) diviene $ 0 < x- \pi <= ( x-4) tan(1) $
cioè $ x > \pi $ e $ ( tan(1)- 1 ) x >= 4 tan(1)- \pi $
.... $ x >\pi $ e $ x>= \frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} $ perché $ tan(1)- 1 > 0 $
e cosi abbiamo $ x>= \frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} $ perché $ \frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} > \pi $
Se $ x<4 $ allora (*) si scrive $ 0 > x- \pi >= ( x-4) tan(1) $
cioè $ x < \pi $ e $ ( tan(1)- 1 ) x <= 4 tan(1)- \pi $
.... $ x <\pi $ e $ x <= \frac{4 tan(1)-\pi}{tan(1)-1} $
e quindi abbiamo $ x<\pi $
Spero che sia chiaro
Dominique .
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