Trovare le direzioni lungo cui la derivata direzionale assume certi valori

[link19]

La mia funzione è $ f(x,y)=xy $. L'esercizio mi chiede di determinare la direzione $ lambda $ secondo cui $ lambda (partial f(2,0))/(partial lambda) =-1 $.
Per quanto riguarda questa parte dell'esercizio, applico il limite per ottenere la derivata direzionale
$ lim_(t -> 0) (f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y))/t $
$ lim_(t->0)(((2+tv_1)(tv_2))/t) $
$ lim_(t->0)(2tv_2+t^2v_1v_2)/t $
$ lim_(t->0)2v_2 => 2v_2=-1=>v_2=-1/2$
$ lambda(v_1,-1/2) $
Se voglio normalizzarlo mi trovo anche che valori può assumere v_1 e mi trovo
$ v_1=+-sqrt(3)/2 $
Se ho fatto tutto bene fino ad adesso, il mio problema vero e proprio è la seconda parte dell'esercizio in cui mi si richiede di verificare se in (2,0) vi sono direzioni secondo cui la derivata direzionale è -3 oppure -2. Questi valori sono accettabili per la mia derivata direzionale? Come faccio a verificarne l'esistenza per questi valori? Non so proprio come risolvere questa parte.
Grazie per l'attenzione e per l'aiuto.

[walter891]

io farei così: considero il versore generico $v=(cos(theta),sin(theta))$ e calcolo la derivata che viene $2sin(theta)$ poi guardo se le equazioni $2sin(theta)=-3$ e $2sin(theta)=-2$ ammettono soluzioni

[gabriella127]

[quote="link19" il mio problema vero e proprio è la seconda parte dell'esercizio in cui mi si richiede di verificare se in (2,0) vi sono direzioni secondo cui la derivata direzionale è -3 oppure -2. Questi valori sono accettabili per la mia derivata direzionale? Come faccio a verificarne l'esistenza per questi valori?


Veramente non capisco troppo il tuo dubbio, devi solo ripetere il procedimento già fatto per $-1$, cioè porre $2v_2=-3$, e $2v_2=-2$.

[link19]

Credo che il procedimento di Walter sia quello giusto poiché ho usato lo stesso procedimento di gabriella in un esercizio e la prof. mi ha detto che era sbagliato.

Vi ringrazio entrambi per le risposte e l'attenzione che mi avete dato.

[gabriella127]

Boh, forse mi confondo per qualche motivo, non capisco perché è sbagliato. Il metodo di Walter dà il vettore già normalizzato, con l'altro metodo lo si normalizza dopo (a meno che usando seni e coseni non si vogliano considerare tutte le direzioni $theta$ che differiscono di $2kpi$, boh?)

[dissonance]

Io sono d'accordo con gabriella. E poi non capisco come la professoressa possa essere tanto salomonica da sentenziare che tutto un metodo "è sbagliato" senza dire perché.

[link19]

"dissonance":Io sono d'accordo con gabriella. E poi non capisco come la professoressa possa essere tanto salomonica da sentenziare che tutto un metodo "è sbagliato" senza dire perché.

Cioè mi state dicendo che mi ha corretto l'esercizio anche se lo avevo fatto bene? Ho usato lo stesso procedimento che ha usato gabriella. Però la soluzione di Walter mi esclude il -3, mentre, il procedimento di gabriella non esclude nessuno di questi valori.

[gabriella127]

Data l'ora potrei scrivere fesserie, ma a me i due metodi sembrano praticamente uguali.
Anche il metodo a cui mi riferisco io esclude il $-3$.

Io questo esercizio preferirei farlo calcolando la derivata non con il rapporto incrementale, ma usando la rappresentazione della derivata direzionale mediante le derivate parziali $f_x$ e $f_y$. Nel nostro caso abbiamo:

$f_x=y$
$f_y=x$

per cui la derivata direzionale è

$yv_1+xv_2$

che in $(2,0)$ diventa

$0v_1+2v_2$

e dobbiamo avere $(v_1)^2+(v_2)^2=1$.

Per $-3$ abbiamo

$0v_1+2v_2=-3$.

Per $v_2$ c'è come unica soluzione $-3/2$. Impossibile.

[dissonance]

"link19":Cioè mi state dicendo che mi ha corretto l'esercizio anche se lo avevo fatto bene? Ho usato lo stesso procedimento che ha usato gabriella.

No. Sto dicendo che quando qualcuno ci dice che qualcosa "è sbagliato", dobbiamo chiederci o chiedergli il perché. "E' sbagliato" da solo non significa niente.