Trovare la Trasformata di Laplace della soluzione
Devo trovare la Trasformata di Laplace da
1_ $\{(tx' - 3x = -1),(x(0) = 1/3):}$
e di
2_ $\{(x'' + x= cos (t)),(x(0) = 0),(x(pi/2)=pi/4):}$
Nella prima non saprei come gestire $tx'$, la $t$ in particolare. Nella seconda non capisco come mi possa aiutare $x(pi/2)=pi/4$ se invece mi servirebbe quanto vale $x'(0)$.
I risultati sono:
-della prima $1/3s + c/s^4$; anche qui, non capisco il $c$ cosa c'entra
-della seconda $s/(s^2+1)^2 + (x'(0))/(s^2+1)$; qui compare $x'(0)$.
Qualcuno gentilmente mi potrebbe spiegare come risolverli, per favore?
1_ $\{(tx' - 3x = -1),(x(0) = 1/3):}$
e di
2_ $\{(x'' + x= cos (t)),(x(0) = 0),(x(pi/2)=pi/4):}$
Nella prima non saprei come gestire $tx'$, la $t$ in particolare. Nella seconda non capisco come mi possa aiutare $x(pi/2)=pi/4$ se invece mi servirebbe quanto vale $x'(0)$.
I risultati sono:
-della prima $1/3s + c/s^4$; anche qui, non capisco il $c$ cosa c'entra
-della seconda $s/(s^2+1)^2 + (x'(0))/(s^2+1)$; qui compare $x'(0)$.
Qualcuno gentilmente mi potrebbe spiegare come risolverli, per favore?
Risposte
Per il primo quesito: vedi trasformata di Laplace di una funzione del tipo $tf(t)$.
Per il secondo quesito: $c$ centra se ti studi la trasformata di cui sopra.
$x'(0)$ è riportato come valore non noto fino al termine dell'esercizio, quindi non hai bisogno di conoscerlo esplicitamente.
Se non provi a risolvere gli esercizi non capirai mai quali dati, e perchè, ti servono.
Per il secondo quesito: $c$ centra se ti studi la trasformata di cui sopra.
$x'(0)$ è riportato come valore non noto fino al termine dell'esercizio, quindi non hai bisogno di conoscerlo esplicitamente.
Se non provi a risolvere gli esercizi non capirai mai quali dati, e perchè, ti servono.
Bhè si in effetti hai ragione che devo provarli a fare gli esercizi, però se già da subito mi vedo una cosa strana, per me è un blocco. Ho provato a fare il secondo e mi è venuto tranquillamente, lasciando $x'(0)$ come parametro.
Invece il primo, grazie per avermi consigliato di usare la convoluzione, ma provandolo a fare mi viene così (se ho fatto giusto):
dalla convoluzione devo fare così per il primo elemento $((-1)(d/(ds))L(x)-(1/3))-3L(x)=-1/s$ da cui segue $L(x)(-(d/(ds))-3)=1/3-1/s$ però poi come faccio a "togliere" la derivazione? Sempre che quello che ho fatto sia giusto....
Invece il primo, grazie per avermi consigliato di usare la convoluzione, ma provandolo a fare mi viene così (se ho fatto giusto):
dalla convoluzione devo fare così per il primo elemento $((-1)(d/(ds))L(x)-(1/3))-3L(x)=-1/s$ da cui segue $L(x)(-(d/(ds))-3)=1/3-1/s$ però poi come faccio a "togliere" la derivazione? Sempre che quello che ho fatto sia giusto....
Credo tu stia facendo un po' di confusione. Per il secondo non ti ho consigliato di fare la convoluzione ma di sfruttare una trasformata "notevole". La convoluzione è altra cosa.
Ad ogni modo, non puoi assolutamente fare qualcosa di questo tipo:
$\frac{dL{x(t)}}{ds}=L{x(t)}\frac{d}{ds}1$
essendo $L{x(t)}(s)$ funzione, appunto, di $s$ (tra l'altro così scritta verrebbe $0$).
Io ti consiglierei di risolvere qualche esercizio di base in più, capire bene cosa stai facendo, e poi proseguire.
Ad ogni modo, non puoi assolutamente fare qualcosa di questo tipo:
$\frac{dL{x(t)}}{ds}=L{x(t)}\frac{d}{ds}1$
essendo $L{x(t)}(s)$ funzione, appunto, di $s$ (tra l'altro così scritta verrebbe $0$).
Io ti consiglierei di risolvere qualche esercizio di base in più, capire bene cosa stai facendo, e poi proseguire.
Scusa ma quale sarebbe la "traformata notevole" che mi consigliavi? Di esercizi più semplici ne ho già fatti, adesso sono a sta tipologia...
questa è la trasformata notevole:
$L[tx(t)](s)=-X'(s)$
$L[tx(t)](s)=-X'(s)$
Ah, ok. Allora era come pensavo e avevo scritto prima $(-1)(d/ds)X(s)$ (scritta con altri termini). Però per $X'(s)$ che valore gli assegno? o la devo lasciare scritta così?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo