Trovare la primitiva della f.d.

[anima123]

\(\displaystyle \frac{1}{x}dx - \frac{1}{y}dy + \frac{1}{z}dz \)

vedendo sul libro ho trovato che la primitiva si trova facendo l'integrale esteso a \(\displaystyle \gamma \) di \(\displaystyle \frac{1}{x}dx - \frac{1}{y}dy + \frac{1}{z}dz \), dove \(\displaystyle \gamma \) è una curva definita in \(\displaystyle t\in [0,1]\) di forma parametrica :

$\{(x = x_0 + t(x - x_0)),(y = y_0 + t(y - y_0)),(z = z_0 + t(z - z_0)):}$

per cui lui utilizza il punto \(\displaystyle P(x_0,y_0,z_0) = (0,0,0) \) e quindi la forma parametrica viene :

$\{(x = xt),(y = yt),(z=zt):}$

Facendo un esercizio in cui la f.d. è definita in tutto \(\displaystyle R^3 \), funziona la formula, ma nella f.d. che ho io in esame non posso considerare il punto \(\displaystyle (0,0,0) \) poichè la f.d. non è definita in quel punto.

Come trovare la primitiva?

[walter891]

il metodo è lo stesso ma devi prendere una curva qualunque che non esce dal dominio
per non complicare i conti io partirei dal punto $(1,1,1)$

[anima123]

OK ho risolto. Non ho fatto con quel metodo. Ho semplicemente uguagliato :

\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{1}{x} \). Dopodicche ho trovato f(x,y) facendo l'integrale e mi viene :

\(\displaystyle \ln|x| - A(y) \). Dopodicchè ho derivato questo rispetto ad y e mi sono trovato che A(x) = \(\displaystyle \ln|y| + B(z) \). Stesso procedimento per questa : ho derivato rispetto a z e alla fine mi trovo che l'insieme delle primitive sono :

\(\displaystyle f(x,y,z) = \ln|x| - \ln|y| + \ln|z| + c_0 \)

grazie comunque

[ciampax]

Una osservazione: risolvendo $f_x(x,y,z)=1/x$ trovi la soluzione generale $f(x,y,z)=\log|x|+A(y,z)$. Hai tre variabili, non due.

[anima123]

Si scusami. Hai ragione. Ho omesso la z.