Trovare la funzione inversa
[tex]log(x-1)+\sqrt{x}[/tex]
Devo verificare se esiste nel suo insieme di definizione l'inversa e calcolarne dominio e la derivata in [tex]\sqrt{2}[/tex].
Sono un pò perplesso, comunque il dominio dovrebbe essere:
[tex]]1,+\infty[[/tex]
Ora per essere invertibile una funzione deve essere biettiva, o quanto meno, potrei verificare se sia monotona, cosa che mi garantisce l'iniettività.
Però non mi pare facile studiarla.
Mi può servire la derivata per capire dov'è crescete, e quindi monotona?
Devo verificare se esiste nel suo insieme di definizione l'inversa e calcolarne dominio e la derivata in [tex]\sqrt{2}[/tex].
Sono un pò perplesso, comunque il dominio dovrebbe essere:
[tex]]1,+\infty[[/tex]
Ora per essere invertibile una funzione deve essere biettiva, o quanto meno, potrei verificare se sia monotona, cosa che mi garantisce l'iniettività.
Però non mi pare facile studiarla.
Mi può servire la derivata per capire dov'è crescete, e quindi monotona?
Risposte
$f^-1=(e^y+1+y^2)/2$
$1/(x-1) + 1/(2sqrt(x))$ questa è la derivata della funzione ed è continua e sempre diversa da zero(nell'insieme di definizione di f), quindi puoi conlcudere che la funzione è invertibile ovunque sia definita, in generale almeno localmente ovunque è definita. [edit] ma questa è strettamente crescente.
Per la derivata dell'inversa nel punto $y$ con $x=sqrt(2)$ o $y=sqrt(2)$?
$[1/(x-1) + 1/2sqrt(x)]^(-1)$ $x=g(y)$.
Oppure puoi dire che, siccome è strettamente crescente è certamente invertibile. L'iniettività te la garantisce il fatto che, per $x_1 !=x_2$, $y_1 !=y_2$.
Per la derivata dell'inversa nel punto $y$ con $x=sqrt(2)$ o $y=sqrt(2)$?
$[1/(x-1) + 1/2sqrt(x)]^(-1)$ $x=g(y)$.
Oppure puoi dire che, siccome è strettamente crescente è certamente invertibile. L'iniettività te la garantisce il fatto che, per $x_1 !=x_2$, $y_1 !=y_2$.
ALlora ho trovato che è sempre crescente pure io.
La derivata è in g(y).
Però mi potresti fare capire come trovare il dominio, e la legge di definizione dell'inversa?
La derivata è in g(y).
Però mi potresti fare capire come trovare il dominio, e la legge di definizione dell'inversa?
Diciamo che il teorema generale ti da certezza dell'inversa solo localmente, cioè in un aperto contenente il punto, per dire che c'è ovunque bisogna assumere anche la decrescenza stretta o crescenza stretta, cioè forme di monotonia, diversamente hai valori assunti in più di un punto dell'insieme di definizione e quindi non si può assumere che esista l'inversa ovunque. [edit] parlo di funzioni continue.
LA derivata dell'inversa in un punto si calcola a partire da quella della funzione iniziale, nel punto $x=g(y)$.
Quindi il dominio è quello della funzione iniziale [edit] errore [/edit] se la funzione è come sopra monotona, altrimenti è solo localmente invertibile, e quindi solo in intorni dei punti in cui cerchi l'inversa. [edit] ovviamente sono necessarie altre ipotesi, per l'invertibilità locale.
[edit] Se hai che la derivata della funzione iniziale che è definita in un aperto, è continua, dove è diversa da zero la derivata la funzione è localmente invertibile.
LA derivata dell'inversa in un punto si calcola a partire da quella della funzione iniziale, nel punto $x=g(y)$.
Quindi il dominio è quello della funzione iniziale [edit] errore [/edit] se la funzione è come sopra monotona, altrimenti è solo localmente invertibile, e quindi solo in intorni dei punti in cui cerchi l'inversa. [edit] ovviamente sono necessarie altre ipotesi, per l'invertibilità locale.
[edit] Se hai che la derivata della funzione iniziale che è definita in un aperto, è continua, dove è diversa da zero la derivata la funzione è localmente invertibile.
Allora si, la funzione mi risulta sempre crescente per in [tex]]1,+\infty[[/tex]
Quindi invertibile in tutto l'intervallo, ma mi interessava sapere come trovare la legge dell'inversa.
Ed eventualmente se mi potessi fare vedere tu come impostare il calcolo della derivata perchè non mi è molto chiaro...
Quindi invertibile in tutto l'intervallo, ma mi interessava sapere come trovare la legge dell'inversa.
Ed eventualmente se mi potessi fare vedere tu come impostare il calcolo della derivata perchè non mi è molto chiaro...
Guarda, è un teorema, dovresti vedertelo sul testo, non è difficile. A che pro' riportarlo qui, se hai difficoltà a capirlo, mi dice dove, e te lo spiego.
Ma il teorema va bene, solo che non riesco a trovare la legge, cioè dovrei avere:
[tex]y=log(x-1)+\sqrt{x}[/tex] per l'inversa dovrei ricavare la x?
Una parola....
[tex]y=log(x-1)+\sqrt{x}[/tex] per l'inversa dovrei ricavare la x?
Una parola....
Ma non puoi trovare la funzione inversa in tutti i casi, per esempio non mi pare che la soluzione di intoThewild sia corretta, in forma chiusa non riesci a trovare la funzione inversa, cioè non riesci ad esprimerla in termini di funzioni note. A meno di non inventarne qualcuna lì per lì, come è accaduto.
Stai tranquillo, nessuno ti chiederà di calcolare la funzione inversa, perchè è possibile solo in pochi casi(espressa in termini di funzioni note) ottenerla.
Stai tranquillo, nessuno ti chiederà di calcolare la funzione inversa, perchè è possibile solo in pochi casi(espressa in termini di funzioni note) ottenerla.
Nel mio esercizio mi si chiede però il dominio dell'inversa......sarà lo stesso di quella di partenza visot che è invertibile in tutto l'intervallo?
Se potessi aiutarmi e farmi vedere come trovare la derivata, almeno impostarmi il tutto te ne sarei grato perchè essendo il primo esercizio non sono capace.......
Se potessi aiutarmi e farmi vedere come trovare la derivata, almeno impostarmi il tutto te ne sarei grato perchè essendo il primo esercizio non sono capace.......
A me l'inversa se ho capito il tuo ragionamento, sostituire nella derivata iniziale alla x [tex]\sqrt{2}[/tex] viene:
[tex]\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}[/tex]
Siccome è l'inversa :
[tex]\sqrt{2}-1+2\sqrt[4]{x}[/tex]
[tex]\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}[/tex]
Siccome è l'inversa :
[tex]\sqrt{2}-1+2\sqrt[4]{x}[/tex]
Sicuro è quello degli $y$ a partire da $x>1$, ma degli $y$, cioè in questo caso è tutto l'asse reale., Ma la derivata te l'ho scritta sopra.
[edit] Ti avevo chiesto se $sqrt(2)$ si riferiva a $x$ oppure era l'$y$ dove dovevi calcolare la derivata, nel primo caso sostuisci e basta, nel secondo devi calcolarti prima $x$.
[edit] Ti avevo chiesto se $sqrt(2)$ si riferiva a $x$ oppure era l'$y$ dove dovevi calcolare la derivata, nel primo caso sostuisci e basta, nel secondo devi calcolarti prima $x$.
Scusa no.
Mi si dice detta g(y) l'inversa calcolare la derivata [tex]g'\sqrt{2}[/tex] e basta.
Mi si dice detta g(y) l'inversa calcolare la derivata [tex]g'\sqrt{2}[/tex] e basta.
$x=sqrt(2)$? o $y=sqrt(2)$? questo non ho capito, nel primo caso basta che sostituisci, nel secondo devi calcolarti prima $x$ e poi sostituire.
Aspetta facciamo un po' di chiarezza, la derivata delle funzione inversa è questa $g'(y)={f'[g(y)]}^(-1)$.
PS
Ciao ora!
PS
Ciao ora!
Eh il fatto è che non è specificato rispetto ad x 0 y, però continuo a non capire tu hai detto se è x basta che sostituisci, va bene, sennò devi ricavare la x, ma da [tex]y=\sqrt{2}[/tex] che x dovrei ricavare?
Se hai $y=sqrt(2)$ devi calcolarti $x=f^(-1)(sqrt(2))=g(sqrt(2))$ altrimenti cosa ci metti dentro la derivata di cui sopra? 
Vabbè ok allora devo calcolarmela ma quindi che facciom sostituisco alla funzione iniziale [tex]\sqrt{2}[/tex] e poi per fare l'inversa capovolgo la frazione?
Se è sbagliato mi fai vedere così chiudiamo?
Scusa ma sono de coccio.
Se è sbagliato mi fai vedere così chiudiamo?
Scusa ma sono de coccio.
Figurati, con le funzioni inverse penso a chiunque gli si intrighi il cervello almeno all'inizio.
Quindi in definitiva devo risolvere nel caso in cui devo trovare la x.
[tex]log(\sqrt{2}-1)+\sqrt{2}=x[/tex]
E sostituire il punto.
[tex]log(\sqrt{2}-1)+\sqrt{2}=x[/tex]
E sostituire il punto.
$g'(y)={f'[g(y)]}^(-1)$. questa è la derivata della funzione inversa definita in questo caso in tutto l'asse reale.
Hai detto che $y=sqrt(2)$
quindi la derivata varrà:
$g'(sqrt(2))={f'[g(sqrt(2))]}^(-1)$
Allora ora devi trovare quanto vale $g(sqrt(2))$
Ma la funzione inversa non sappiamo calcolarla quindi urge risolvere la seguente equazione:
$log(x-1) + sqrt(x) = sqrt(2)$
Hai detto che $y=sqrt(2)$
quindi la derivata varrà:
$g'(sqrt(2))={f'[g(sqrt(2))]}^(-1)$
Allora ora devi trovare quanto vale $g(sqrt(2))$
Ma la funzione inversa non sappiamo calcolarla quindi urge risolvere la seguente equazione:
$log(x-1) + sqrt(x) = sqrt(2)$
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