Trovare il vettore tangente

[emaz92]

"L'intersezione delle due superfici di equazioni cartesiane $2x^2+3y^2-z^2=25$ e $x^2+y^2=z^2$ contiene una curva $c$ passante per il punto $P=(sqrt7,3,4)$.Queste equazioni possono essere risolte rispetto $x$ e $y$ in funzione di $z$ ottenendo una rappresentazione parametrica di $c$ con $z$ come parametro. Trovare il vettore unitario $T$ tangente a $c$ nel punto $p$ senza conoscere esplicitamente la rappresentazione parametrica."

Allora, sinceramente non capisco che metodo richieda di utilizzare. Io farei proprio come dice di non fare sinceramente, utilizzando la parametrizzazione. Ma senza non riesco, finora non sono ancora riuscito

[Sk_Anonymous]

Prova il metodo di riduzione:

$\{(2x^2+3y^2=z^2+25),(x^2+y^2=z^2):}$

[emaz92]

"speculor":Prova il metodo di riduzione:

$\{(2x^2+3y^2=z^2+25),(x^2+y^2=z^2):}$

Se riduco per eliminare $z$ mi viene $\{(x^2+2y^2=25),(x^2+y^2=z^2):}$, poi però non capisco come procedere

[Sk_Anonymous]

Devi eliminare prima $y$ per trovare $x$, poi $x$ per trovare $y$.

[emaz92]

"speculor":Devi eliminare prima $y$ per trovare $x$, poi $x$ per trovare $y$.

purtroppo non ho capito speculor, quello che mi piacerebbe sapere però è come trovare il versore tangente, non solo in questo caso ma in generale.Se io ho una curva rappresentata parametricamente allora il versore tangente, è uguale alla derivata della curva diviso il modulo, questo è l' unico caso in cui ho visto il vettore tangente.Qui non riesco a capire

[Sk_Anonymous]

$\{(2x^2+3y^2=z^2+25),(x^2+y^2=z^2):} rarr \{(2x^2+3y^2=z^2+25),(2x^2+2y^2=2z^2):} rarr \{(y^2=-z^2+25),(2x^2+2y^2=2z^2):} rarr \{(y=+-sqrt(-z^2+25)),(2x^2+2y^2=2z^2):}$

$\{(2x^2+3y^2=z^2+25),(x^2+y^2=z^2):} rarr \{(2x^2+3y^2=z^2+25),(3x^2+3y^2=3z^2):} rarr \{(x^2=2z^2-25),(3x^2+3y^2=3z^2):} rarr \{(x=+-sqrt(2z^2-25)),(3x^2+3y^2=3z^2):}$

$\{(x=sqrt(2t^2-25)),(y=sqrt(-t^2+25)),(z=t):}$

[emaz92]

"speculor":$\{(2x^2+3y^2=z^2+25),(x^2+y^2=z^2):} rarr \{(2x^2+3y^2=z^2+25),(2x^2+2y^2=2z^2):} rarr \{(y^2=-z^2+25),(2x^2+2y^2=2z^2):} rarr \{(y=+-sqrt(-z^2+25)),(2x^2+2y^2=2z^2):}$

$\{(2x^2+3y^2=z^2+25),(x^2+y^2=z^2):} rarr \{(2x^2+3y^2=z^2+25),(3x^2+3y^2=3z^2):} rarr \{(x^2=2z^2-25),(3x^2+3y^2=3z^2):} rarr \{(x=+-sqrt(2z^2-25)),(3x^2+3y^2=3z^2):}$

perfetto, adesso fino a qui ci siamo, adesso tu consideresti ${(x=+-sqrt(2z^2-25)),(y=+-sqrt(-z^2+25)):}$, ma adesso? io la considererei una parametrizzazione di cui $z$ è il parametro ma il libro chiede di non parametrizzare

[Sk_Anonymous]

Hai ragione, non avevo completato la lettura dell'esercizio. A questo punto, dovresti procedere considerandola una varietà:

$\{(f_1=2x^2+3y^2-z^2-25=0),(f_2=x^2+y^2-z^2=0):}$

Dovresti fare il prodotto vettoriale dei due gradienti, quindi normalizzarlo.

[emaz92]

"speculor":Hai ragione, non avevo completato la lettura dell'esercizio. A questo punto, dovresti procedere considerandola una varietà.

io credo che in qualche modo voglia che si utilizzino delle derivate di funzioni definite implicitamente dato che l' esercizio appartiene a quel capitolo, però sono confuso

[Sk_Anonymous]

Ho aggiunto qualcosa all'ultimo messaggio. Ti torna?

[emaz92]

"speculor":Hai ragione, non avevo completato la lettura dell'esercizio. A questo punto, dovresti procedere considerandola una varietà:

$\{(f_1(x,y,z)=2x^2+3y^2-z^2-25=0),(f_2(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0):}$

Dovresti fare il prodotto vettoriale dei due gradienti, quindi normalizzarlo.

i gradienti sono paralleli e normali alla curva, quindi il loro prodotto vettoriale mi dà il vettore non normalizzato tanto cercato, e poi sostituisco il punto $P$ giusto?

[emaz92]

"speculor":Ho aggiunto qualcosa all'ultimo messaggio. Ti torna?

grazie adesso è tutto chiaro per quanto riguarda questo procedimento, non mi torna però sia a livello logico che di calcolo l' altro. Cioè considerando la $z$ come parametro, pensavo di aver capito, invece no: credevo si dovessero calcolare le derivate parziali e poi normalizzare sostituendo il punto $P$ ma a quanto pare non è così

P.S. comunque grazie per la pazienza

[Sk_Anonymous]

Ho fatto i conti. Torna perfettamente, compresa la verifica con la parametrizzazione trovata. Del resto, i $2$ gradienti giacciono nel piano perpendicolare alla curva.

[emaz92]

"speculor":Ho fatto i conti. Torna perfettamente, compresa la verifica con la parametrizzazione trovata. Del resto, i $2$ gradienti giacciono nel piano perpendicolare alla curva.

è proprio con la parametrizzazione che non mi torna, mentre utlizzando il prodotto vettoriale si, posso sapere che procedimento hai utilizzato?

Scusa la perseveranza ma mi interessa molto

[Sk_Anonymous]

Con la varietà:

$(-8yz,+4xz,-4xy)$ da calcolare in $(sqrt(7),3,4)$.

Con la parametrizzazione:

$((2t)/(sqrt(2t^2-25)),(-t)/(sqrt(-t^2+25)),1)$ da calcolare per $t=4$.

Giustamente, ottieni $2$ vettori paralleli.

[emaz92]

"speculor":Con la varietà:

$(-8yz,+4xz,-4xy)$ da calcolare in $(sqrt(7),3,4)$.

Con la parametrizzazione:

$((2t)/(sqrt(2t^2-25)),(-t)/(sqrt(-t^2+25)),1)$ da calcolare per $t=4$.

Giustamente, ottieni $2$ vettori paralleli.

mi torna tutto eccetto una cosa che non capisco, poi probabilmente avrò finito con le domande, ti ringrazio subito speculor. Tornando alla cosa che non mi torna: non capisco quell' $1$ della parametrizzazione nella direzione dell' asse $z$

[Sk_Anonymous]

Quando utilizzi la parametrizzazione, un vettore tangente si ottiene derivando rispetto al parametro, in questo caso $t$ oppure $z$, se non l'hai rinominato. Pensavo lo sapessi.

[emaz92]

"speculor":Quando utilizzi la parametrizzazione, un vettore tangente si ottiene derivando rispetto al parametro, in questo caso $t$ oppure $z$, se non l'hai rinominato. Pensavo lo sapessi.

ahhhh giusto, non posso avere dei dubbi su ste cose, mi devo esercitare molto, grazie mille speculor