Trovare il residuo

[sulne]

ragazzi aiuto ho un problema, l'esercizio chiede di trovare il residuo in z=1 di:

$\frac{e^\frac{1}{z-1}}{z+1}$

ora usando per l'esponenziale la serie di taylor e osservando che $\frac{x}{x+1}=
\frac{1}{2[\frac{z-1}{2}+1]}=
1/2\sum_{j=0}^{\infty}(-)^j/2^j(z-1)^j=
-\sum_{j=0}^{\infty}(-1/2)^(j+1)(z-1)^j$

ottengo:

$\frac{e^\frac{1}{z-1}}{z+1}=
-\sum_{j,k=0}^{\infty}1/(k!)(-1/2)^(j+1)(z-1)^(j-k)$

per trovare il residuo devo cercare il coefficiente di $(z-1)^(-1)$ perciò impongo $j-k=-1$ cioè $k=j+1$
tuttavia da qui non riesco più a maneggiare la doppia sommatoria che dovrebbe diventare

$-\sum_{j,j+1=0}^{\infty}1/((j+1)!)(-1/2)^(j+1)$

confrontando con la soluzione del professore noto che ho una sommatoria di troppo, dovrei avere "solo":

(*)=$-\sum_{j=0}^{\infty}1/((j+1)!)(-1/2)^(j+1)$

che dopo semplici passaggi dovrebbe dare $-e^(-1/2)+1$

qualcuno sa dimostrarmi come si arriva a (*)?

[luc.mm]

Puoi spiegarmi come hai fatto il prodotto di cauchy? Non dovrebbe essere?

$ sum_(n=0)^infty sum _(k=0)^n (z-1)^(n-2k)[(-1)^(n-k)/(2^(n-k+1)k!)] $

Credo di aver capito, una volta che fissi una relazione, hai un solo indice da far variare, e quindi sostituendo nella formula la relazione la seconda sommatoria scompare (perchè è come se avessi selezionato solo alcuni indici).