Trovare il maggiorante di un insieme numerico
Avendo questo insieme
$X={n/(n+1) : n in NN}$ come faccio a dimostrare che il maggiorante é 1?
Io ho pensato di calcolare il limite....poi ho visto ancge questa dimostrazione:
vediamo se esistono dei numeri $k in RR$ tali che $n/(n+1) <=k in RR AA n in NN$
Alla fine si arriva a
se $ k<1$ si ha $n<= k/(1-k) AA n in NN$
Questa condizione non puó essere vera perché contraddice il fatto che $NN$ non é superiormente limitato.
Qualcuno mi puó spiegare meglio
$X={n/(n+1) : n in NN}$ come faccio a dimostrare che il maggiorante é 1?
Io ho pensato di calcolare il limite....poi ho visto ancge questa dimostrazione:
vediamo se esistono dei numeri $k in RR$ tali che $n/(n+1) <=k in RR AA n in NN$
Alla fine si arriva a
se $ k<1$ si ha $n<= k/(1-k) AA n in NN$
Questa condizione non puó essere vera perché contraddice il fatto che $NN$ non é superiormente limitato.
Qualcuno mi puó spiegare meglio
Risposte
Ciao!
Attenzione alla terminologia:
"Un" maggiorante, non "il" maggiorante; non ne esiste solo uno.
In realtà in questo caso puoi procedere anche analiticamente, dimostrando che $\frac{n}{n+1} \leq 1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$; alternativamente puoi usare il limite per $n\to\infty$, ma devi usare anche un argomento sulla monotonia di $\frac{n}{n+1}$.
È una dimostrazione per assurdo: consideriamo tutti i maggioranti di $X$, ossia l'insieme formato dai $k\in\mathbb{R}$ tali che $\frac{n}{n+1} \leq k$; si ha che
$$\frac{n}{n+1} \leq k \Leftrightarrow n \leq k(n+1) \Leftrightarrow n \leq nk+k\Leftrightarrow n-nk \leq k \Leftrightarrow n(1-k) \leq k$$
Supponendo per assurdo che sia $k<1$ possiamo dividere nell'ultima disuguaglianza mantenendo il verso e giungere a $n \leq \frac{k}{1-k}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$, ma ciò non può avvenire perché se così fosse allora $\mathbb{N}$ sarebbe un insieme limitato superiormente e ciò è falso; perciò deve essere falso supporre $k<1$ e dunque è $k \geq 1$.
Da qui si vede quello che ti dicevo prima: non esiste un unico maggiorante per $X$, tutti i numeri reali $k\geq1$ sono maggioranti di $X$.
Attenzione alla terminologia:
"milos144":
come faccio a dimostrare che il maggiorante é 1?
"Un" maggiorante, non "il" maggiorante; non ne esiste solo uno.
In realtà in questo caso puoi procedere anche analiticamente, dimostrando che $\frac{n}{n+1} \leq 1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$; alternativamente puoi usare il limite per $n\to\infty$, ma devi usare anche un argomento sulla monotonia di $\frac{n}{n+1}$.
"milos144":
poi ho visto ancge questa dimostrazione ... Qualcuno mi puó spiegare meglio
È una dimostrazione per assurdo: consideriamo tutti i maggioranti di $X$, ossia l'insieme formato dai $k\in\mathbb{R}$ tali che $\frac{n}{n+1} \leq k$; si ha che
$$\frac{n}{n+1} \leq k \Leftrightarrow n \leq k(n+1) \Leftrightarrow n \leq nk+k\Leftrightarrow n-nk \leq k \Leftrightarrow n(1-k) \leq k$$
Supponendo per assurdo che sia $k<1$ possiamo dividere nell'ultima disuguaglianza mantenendo il verso e giungere a $n \leq \frac{k}{1-k}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$, ma ciò non può avvenire perché se così fosse allora $\mathbb{N}$ sarebbe un insieme limitato superiormente e ciò è falso; perciò deve essere falso supporre $k<1$ e dunque è $k \geq 1$.
Da qui si vede quello che ti dicevo prima: non esiste un unico maggiorante per $X$, tutti i numeri reali $k\geq1$ sono maggioranti di $X$.
Non vedo perché studiando Analisi si debba dimenticare la Matematica delle elementari...
Le frazioni $n/(n+1)$ sono tutte frazioni proprie (il numeratore è minore del denominatore), dunque tutti quei numeri sono $<1$.
Ne segue che $1$ è un maggiorante di $X$.
Le frazioni $n/(n+1)$ sono tutte frazioni proprie (il numeratore è minore del denominatore), dunque tutti quei numeri sono $<1$.
Ne segue che $1$ è un maggiorante di $X$.
Grazie per l'aiuto! Un chiarimento:
dove dici, alternativamente puoi usare il limite per n→∞, ma devi usare anche un argomento sulla monotonia...cosa intendi! Non basta solo il calcolo del limite? Grazie
dove dici, alternativamente puoi usare il limite per n→∞, ma devi usare anche un argomento sulla monotonia...cosa intendi! Non basta solo il calcolo del limite? Grazie
Prego! In realtà hai ragione, si può fare anche solo con il limite; tuttavia sfrutta la definizione di limite ed è, secondo me, un ragionamento leggermente più raffinato di quello che usa il limite e la monotonia.
Come lo dimostreresti solo con il limite?
Come lo dimostreresti solo con il limite?
Intanto preciso che non sono un esperto! Io pensavo di usare, in questa sistuazione, solo il limite....poi essendo $n/(n+1)$ una frazione propria ho un'ulteriore conferma che $n/(n+1)<1$
Comunque i metodi piú usati per trovare e dimostrare chi é l'estremo superiore o l'estremo inferiore di solito quali sono!
Propongo intanto un altro esempio:
trovare e dimostrare chi sono i minoranti dell'insieme numerico $X={n/(n+1):n in NN}$
Comunque i metodi piú usati per trovare e dimostrare chi é l'estremo superiore o l'estremo inferiore di solito quali sono!
Propongo intanto un altro esempio:
trovare e dimostrare chi sono i minoranti dell'insieme numerico $X={n/(n+1):n in NN}$
"milos144":
Io pensavo di usare, in questa sistuazione, solo il limite
Ok, ti ho chiesto di farmi vedere perché almeno confermiamo se il ragionamento è corretto o troviamo eventuali errori!
"milos144":
Comunque i metodi piú usati per trovare e dimostrare chi é l'estremo superiore o l'estremo inferiore di solito quali sono!
È una domanda o un'affermazione?
Ti è chiaro che maggioranti/minoranti ed estremo superiore/inferiore sono concetti diversi?
"milos144":
Propongo intanto un altro esempio:
trovare e dimostrare chi sono i minoranti dell'insieme numerico $X={n/(n+1):n∈\mathbb{N}}$
Cosa hai provato a fare? Il ragionamento non è molto diverso da uno degli approcci detti prima nel caso dei maggioranti.
@milos
secondo me l'esercizio chiedeva di dimostrare che 1 è l'estremo superiore
chiedere di dimostrare che 1 è un maggiorante è un'offesa all'intelligenza
quindi, dimostra che $forallepsilon>0$ il numero $1-epsilon$ non è un maggiorante dell'insieme, il che equivale a dire che da un certo $n$ in poi la disuguaglianza $n/(n+1)>1-epsilon$ è soddisfatta
secondo me l'esercizio chiedeva di dimostrare che 1 è l'estremo superiore
chiedere di dimostrare che 1 è un maggiorante è un'offesa all'intelligenza
quindi, dimostra che $forallepsilon>0$ il numero $1-epsilon$ non è un maggiorante dell'insieme, il che equivale a dire che da un certo $n$ in poi la disuguaglianza $n/(n+1)>1-epsilon$ è soddisfatta
"l'abatefarina":
@milos
secondo me l'esercizio chiedeva di dimostrare che 1 è l'estremo superiore
chiedere di dimostrare che 1 è un maggiorante è un'offesa all'intelligenza
quindi, dimostra che $ forallepsilon>0 $ il numero $ 1-epsilon $ non è un maggiorante dell'insieme, il che equivale a dire che da un certo $ n $ in poi la disuguaglianza $ n/(n+1)>1-epsilon $ è soddisfatta
Provo a dimostrarlo:
Sia $1 = $ sup $X$. Se esistesse un $epsilon > 0$ tale che per ogni$ x=n/(n+1) in X$ si avesse
$n/(n+1) ≤ 1−epsilon$, allora $1−epsilon$ sarebbe un maggiorante di $X$ minore di $1$. Questo contraddice il fatto
che $1$ é il minimo dei maggioranti.
Viceversa, supponiamo che $1$ sia un maggiorante di $X$ e
che che per ogni $epsilon > 0$ esista un $n/(n+1) in X$ tale che $1 −epsilon < n/(n+1)$. Dimostriamo che $1$ é il minimo
dei maggioranti di $X$.
Se$ b < 1$, posto $epsilon = 1-b > 0$, si avrebbe che esiste un elemento $n/(n+1) in
X$ tale che $1− epsilon = b < n/(n+1)$. Pertanto $b$ non sarebbe un maggiorante di $X$.
"Mephlip":
[quote="milos144"]Io pensavo di usare, in questa sistuazione, solo il limite
Ok, ti ho chiesto di farmi vedere perché almeno confermiamo se il ragionamento è corretto o troviamo eventuali errori!
"milos144":
Comunque i metodi piú usati per trovare e dimostrare chi é l'estremo superiore o l'estremo inferiore di solito quali sono!
È una domanda o un'affermazione?
Ti è chiaro che maggioranti/minoranti ed estremo superiore/inferiore sono concetti diversi?
"milos144":
Propongo intanto un altro esempio:
trovare e dimostrare chi sono i minoranti dell'insieme numerico $ X={n/(n+1):n∈\mathbb{N}} $
Cosa hai provato a fare? Il ragionamento non è molto diverso da uno degli approcci detti prima nel caso dei maggioranti.[/quote]
$lim _(n -> + oo ) n/(n+1)$ Essendo numeratore e denominatore dello stesso grado ottengo $1/1 =1$
Ti è chiaro che maggioranti/minoranti ed estremo superiore/inferiore sono concetti diversi? Adesso mi é piú chiaro.
Provo a risolvere l'altro:
trovare e dimostrare chi sono i minoranti dell'insieme numerico $ X={n/(n+1)}:n in NN$
Sia $ X={n/(n+1)}:n in NN$, $k in RR$
$k<= n/(n+1) AA in NN$
$(n+1)k <=n AA n in NN $
$kn+k<=n AA n in NN$
$k<= n - kn AA n in NN$
$k<=n(1-k) AA n in NN$, con $k<1$ perché $k>=1$ sono maggioranti
$k/(1-k) <= n AA n in NN$
Ora $k/(1-k) <=1 hArr k <= 1-k hArr 2k <= 1 hArr k <= 1/2$
per cui tutti i $k <= 1/2$ sono minorati
Nota: tra questi minoranti lo $0 in X$ é il minimo di $X$
Ora vi chiedo si poteva dimostrare in un altro modo?
Se qualcuno vuole dare un'occhiata, mi farebbe un gran piacere.
Grazie comunque sempre
Grazie comunque sempre
per quanto riguarda la parte su cui sono intervenuto, la disequazione che ho proposto dovevi risolverla
la soluzione è $n>(1-epsilon)/epsilon$
così si può ritenere dimostrato che ,$forallepsilon$ piccolo a piacere , il numero $1-epsilon$ non è un maggiorante dell'insieme dato
la soluzione è $n>(1-epsilon)/epsilon$
così si può ritenere dimostrato che ,$forallepsilon$ piccolo a piacere , il numero $1-epsilon$ non è un maggiorante dell'insieme dato
Grazie mille! 
prego
potresti esercitarti ancora e magari dimostrare che l'estremo inferiore di $ X={(2n+1)/n,n>=1 ,nin N}$ è $2$
potresti esercitarti ancora e magari dimostrare che l'estremo inferiore di $ X={(2n+1)/n,n>=1 ,nin N}$ è $2$
Certamente che ci proveró!
Un dubbio:
nel caso dell'insieme in questione $X={n/(n+1)}: n in NN$ essendo l'estremo inferiore $0$ per dimostrarlo
bastava risolvere $0+epsilon
In questo caso i minoranti dell'insieme sono tutti i numeri dell'intervallo $(-oo,0] $e poiché lo zero appartiene all'insieme $X$ é il minimo.
Un dubbio:
nel caso dell'insieme in questione $X={n/(n+1)}: n in NN$ essendo l'estremo inferiore $0$ per dimostrarlo
bastava risolvere $0+epsilon
In questo caso i minoranti dell'insieme sono tutti i numeri dell'intervallo $(-oo,0] $e poiché lo zero appartiene all'insieme $X$ é il minimo.
nel caso del tuo esempio visto che tra i numeri naturali c'è anche lo $0$ , quest' ultimo appartiene all'insieme ed è il più piccolo di tutti gli elementi dell'insieme: quindi è addirittura il minimo dell'insieme
non c'è bisogno di fare altro
come vedi bisogna stare attenti ,non sempre c'è bisogno di impostare disequazioni con l'$epsilon$
nell'esempio che ti ho proposto, che disequazione imposteresti?
p.s. comunque la disequazione che avevi impostato era sbagliata
al limite( ma sarebbe stata comunque inutile ) avresti dovuto scrivere $epsilon>n/(n+1)$ che avrebbe avuto la soluzione banale $n=0$ se $epsilon<1/2$
non c'è bisogno di fare altro
come vedi bisogna stare attenti ,non sempre c'è bisogno di impostare disequazioni con l'$epsilon$
nell'esempio che ti ho proposto, che disequazione imposteresti?
p.s. comunque la disequazione che avevi impostato era sbagliata
al limite( ma sarebbe stata comunque inutile ) avresti dovuto scrivere $epsilon>n/(n+1)$ che avrebbe avuto la soluzione banale $n=0$ se $epsilon<1/2$
Provo a risolvere l'esercizio proposto:
$X = {(2n +1)/n}, n >=1, n in Nn$
Osserviamo che$ (2n+1)/n=(2n)/n + 1/n= 2+ 1/n$ per cui si puó supporre che $2$ é un minorante ed é anche l'estremo inferiore $(1/n<=1)$
Imposto la disequazione:
$2+epsilon> (2n+1)/n$
$ 2n +n*epsilon>2n +1$
$n*epsilon>1$
$n>1/epsilon$
Questo dimostra che $2 + epsilon$ non é un minorante per cui $2$ é l'estremo inferiore.
$X = {(2n +1)/n}, n >=1, n in Nn$
Osserviamo che$ (2n+1)/n=(2n)/n + 1/n= 2+ 1/n$ per cui si puó supporre che $2$ é un minorante ed é anche l'estremo inferiore $(1/n<=1)$
Imposto la disequazione:
$2+epsilon> (2n+1)/n$
$ 2n +n*epsilon>2n +1$
$n*epsilon>1$
$n>1/epsilon$
Questo dimostra che $2 + epsilon$ non é un minorante per cui $2$ é l'estremo inferiore.
"milos144":
ed é anche l'estremo inferiore
questa parte non la devi scrivere perchè se già sai che è estremo inferiore che la risolvi a fare la disequazione?(che comunque hai impostato e risolto correttamente)
Grazie ancora! Se hai qualche altro esercizio provo a risolverlo....
"milos144":
Grazie ancora! Se hai qualche altro esercizio provo a risolverlo....
Prova qui; gli esercizi sono in fondo, pagg. 9 e 10.
Per quanto riguarda l'esercizio appena svolto, puoi scriverlo in maniera leggermente più "pulita":
Grazie mille per l'attenzione! Provo a risolverli.
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