Trovare il luogo dei punti
Ciao! Avrei un problema con un esercizio:
Trovare il luogo dei punti appartenenti al Dominio della funzione $z$=$xe^(x/y)$ tali che il piano tangente alla superficie, definita dalla funzione, sia perpendicolare all'asse x.
Avevo pensato di trovare il generico piano tangente usando le derivate parziali poi, essendo perpendicolare all'asse x, porre la derivata prima di x=0 e da lì provare a cercare il punto. Ma non ne sono molto sicuro. C'era anche una parte che chiedeva di trovare quello parallelo all'asse x e lì, utilizzando il gradiente, l'ho trovato.
Trovare il luogo dei punti appartenenti al Dominio della funzione $z$=$xe^(x/y)$ tali che il piano tangente alla superficie, definita dalla funzione, sia perpendicolare all'asse x.
Avevo pensato di trovare il generico piano tangente usando le derivate parziali poi, essendo perpendicolare all'asse x, porre la derivata prima di x=0 e da lì provare a cercare il punto. Ma non ne sono molto sicuro. C'era anche una parte che chiedeva di trovare quello parallelo all'asse x e lì, utilizzando il gradiente, l'ho trovato.
Risposte
ricordiamo che,dato un piano $ax+by+cz+d=0$ ed una retta di numeri direttori $(l,m,n)$,essi sono perpendicolari se,e solo se,esiste $lambda$ tale che $(a,b,c)=lambda(l,m,n)$
Per quanto riguarda la componente z mi verrebbe che
$-1=λ \cdot 0$
Quindi non è mai perpendicolare, giusto?
$-1=λ \cdot 0$
Quindi non è mai perpendicolare, giusto?
Se la funzione fosse scritta come $x=g(y,z)$ il vettore normale al piano tangente in un punto sarebbe $(-1,f_y,f_z)$. Pertanto come vedi è una questione di "riscrivere" la funzione data.
sì,però la superficie quella è
Sì, ma mi stavo chiedendo se non ci fossero punti in cui la funzione si comporta come la sfera all'equatore (chiaro cosa intendo?)
Voglio dire: se avessi $z=\sqrt{r^2-x^2-y^2}$ deduco, per ragioni geometriche, che nei punti di intersezione di tale calotta con l'asse delle ascisse il piano tangente è ortogonale a tale asse. Tuttavia investigare il comportamento del vettore normale alla superficie espresso in tal modo non mi permette di trovare analiticamente tali punti, che invece riesco a determinare considerando $x=\sqrt{r^2-y^2-z^2}$ (con opportuni segni $\pm$ davanti) come funzione che definisce la superficie.
Voglio dire: se avessi $z=\sqrt{r^2-x^2-y^2}$ deduco, per ragioni geometriche, che nei punti di intersezione di tale calotta con l'asse delle ascisse il piano tangente è ortogonale a tale asse. Tuttavia investigare il comportamento del vettore normale alla superficie espresso in tal modo non mi permette di trovare analiticamente tali punti, che invece riesco a determinare considerando $x=\sqrt{r^2-y^2-z^2}$ (con opportuni segni $\pm$ davanti) come funzione che definisce la superficie.
"ciampax":
Sì, ma mi stavo chiedendo se non ci fossero punti in cui la funzione si comporta come la sfera all'equatore (chiaro cosa intendo?)
chiarissimo
beh,in questo caso è facile vedere che $z_x$ e $z_y$ sono definite in ogni punto del dominio della funzione
No scusate non ho ben capito il discorso della sfera
sulla superficie sferica ci sono punti in corrispondenza dei quali il piano tangente è perpendicolare all'asse delle x
come diceva giustamente ciampax,devi andarli a pescare tra i punti delll'equatore dove non sono definiti nè $z_x$,nè $z_y$
come diceva giustamente ciampax,devi andarli a pescare tra i punti delll'equatore dove non sono definiti nè $z_x$,nè $z_y$
"stormy":
sulla superficie sferica ci sono punti in corrispondenza dei quali il piano tangente è perpendicolare all'asse delle x
come diceva giustamente ciampax,devi andarli a pescare tra i punti delll'equatore dove non sono definiti nè $z_x$,nè $z_y$
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Ah pefetto, capito. Grazie mille a entrambi 
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