Trovare il limite di una successione
Senza usare le derivate $ (1+2+3+...+n)/(n^2)= (n (n+1)/2)/n^2$
Come si Fa?
Come si Fa?
Risposte
Immagino tu volessi scrivere
\[
\frac{1+\ldots+n}{n^2}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2},
\]
che è equivalente a dimostrare che
\[
1+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
\]
Si dimostra per induzione
\[
\frac{1+\ldots+n}{n^2}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2},
\]
che è equivalente a dimostrare che
\[
1+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
\]
Si dimostra per induzione
Quindi il limite è il membro di Destra?
Ho letto solo ora che il tuo problema era trovare il limite. Bhè è abbastanza semplice:
\[
\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\frac{n+1}{2n}=\frac{n}{n}\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2}\to \frac{1}{2}.
\]
\[
\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\frac{n+1}{2n}=\frac{n}{n}\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2}\to \frac{1}{2}.
\]
Ok grazie
Potresti aiutarmi con Questa?
$ 1-2q+3q^2-4q^3+... $
$ 1-2q+3q^2-4q^3+... $
Ti do un paio di indizi:
1) Dato $q \in (-1,1)$, calcola $\sum_{k=0}^{+\infty}q^{2k}$ e$\sum_{k=0}^{+\infty}q^{2k+1}$;
2) Ricordati che le serie di potenze si possono derivare termine a termine.
1) Dato $q \in (-1,1)$, calcola $\sum_{k=0}^{+\infty}q^{2k}$ e$\sum_{k=0}^{+\infty}q^{2k+1}$;
2) Ricordati che le serie di potenze si possono derivare termine a termine.
Non parla di derivate ancora il libro..
Scusate l'up a distanza di tempo, ma il quesito è interessante poiché può essere affrontato anche senza appellarsi direttamente ai teoremi di Calcolo Differenziale.
Infatti, per risolvere basta usare una rappresentazione grafica "sensata" degli addendi della somma in questione.
Abbiamo:
\[
\begin{split}
1-2q+3q^2-4q^3+\cdots +(-1)^n (n+1) q^n+\cdots &= 1 - q + q^2 - q^3 +\cdots +(-1)^n q^n +\cdots \\
&\phantom{=1} - q + q^2 - q^3 +\cdots +(-1)^n q^n +\cdots \\
&\phantom{=1-q} + q^2 - q^3 +\cdots +(-1)^n q^n +\cdots \\
&\phantom{=1-q+q^2} - q^3 +\cdots +(-1)^n q^n +\cdots\\
&\phantom{=1-q+q^2 - q^3} +\cdots
\end{split}
\]
e si vede che la somma di ogni riga del secondo membro è calcolabile usando una serie geometrica se $|q|<1$. In particolare, la somma della prima riga è:
\[
1-q+q^2-q^3+q^4 + \cdots +(-1)^n q^n + \cdots = \frac{1}{1+q}\; ,
\]
la somma della seconda è:
\[
\begin{split}
-q+q^2-q^3+q^4 + \cdots +(-1)^n q^n + \cdots &= -q(1-q+q^2-q^3+q^4 + \cdots +(-1)^n q^n + \cdots)\\
&= \frac{-q}{1+q}\; ,
\end{split}
\]
la somma della terza è:
\[
\begin{split}
q^2-q^3+q^4 + \cdots +(-1)^n q^n + \cdots &= q^2 (1-q+q^2-q^3+q^4 + \cdots +(-1)^n q^n + \cdots)\\
&= \frac{q^2}{1+q}\; ,
\end{split}
\]
etc... Per ricorrenza, la somma della $k$-esima riga sarà \(\frac{(-1)^{k-1}q^{k-1}}{1+q}\).
Per ottenere la tua somma, ora, devi sommare tutte le somme fatte sulle righe: in tal modo ottieni:
\[
\begin{split}
1-2q+3q^2 -4q^3 +\cdots +(-1)^n(n+1) q^n +\cdots &= \frac{1}{1+q} + \frac{-q}{1+q} + \frac{q^2}{1+q} + \frac{-q^3}{1+q} +\cdots + \frac{(-1)^k q^k}{1+q}+\cdots \\
&= \frac{1}{1+q}\ \left( 1-q+q^2-q^3+\cdots + (-1)^k q^k+\cdots \right)\\
&= \frac{1}{(1+q)^2}\; .
\end{split}
\]
Ovviamente, il tutto andrebbe giustificato; ma ciò è molto semplice, poiché la serie assegnata è assolutamente convergente per $|q|<1$ e, dunque, i suoi addendi si possono permutare in qualsiasi modo senza alterarne la somma (questa è la cosiddetta convergenza incondizionata[nota]Si dice che una serie convergente \(\sum a_n\) è incondizionatamente convergente se e solo se per ogni permutazione \(\sigma :\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) risulta:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma (n)} = \sum_{n=0}^\infty a_n\; ,
\]
cioè se la somma della serie non cambia per alcuna scelta dell'ordine degli addendi. Un notevolissimo teorema (di Riemann e Dini, se non ricordo male, ma potrei sbagliarmi) afferma che le serie numeriche incondizionatamente convergenti sono esattamente le serie assolutamente convergenti, cioè che vale il seguente fatto:
Infatti, per risolvere basta usare una rappresentazione grafica "sensata" degli addendi della somma in questione.
Abbiamo:
\[
\begin{split}
1-2q+3q^2-4q^3+\cdots +(-1)^n (n+1) q^n+\cdots &= 1 - q + q^2 - q^3 +\cdots +(-1)^n q^n +\cdots \\
&\phantom{=1} - q + q^2 - q^3 +\cdots +(-1)^n q^n +\cdots \\
&\phantom{=1-q} + q^2 - q^3 +\cdots +(-1)^n q^n +\cdots \\
&\phantom{=1-q+q^2} - q^3 +\cdots +(-1)^n q^n +\cdots\\
&\phantom{=1-q+q^2 - q^3} +\cdots
\end{split}
\]
e si vede che la somma di ogni riga del secondo membro è calcolabile usando una serie geometrica se $|q|<1$. In particolare, la somma della prima riga è:
\[
1-q+q^2-q^3+q^4 + \cdots +(-1)^n q^n + \cdots = \frac{1}{1+q}\; ,
\]
la somma della seconda è:
\[
\begin{split}
-q+q^2-q^3+q^4 + \cdots +(-1)^n q^n + \cdots &= -q(1-q+q^2-q^3+q^4 + \cdots +(-1)^n q^n + \cdots)\\
&= \frac{-q}{1+q}\; ,
\end{split}
\]
la somma della terza è:
\[
\begin{split}
q^2-q^3+q^4 + \cdots +(-1)^n q^n + \cdots &= q^2 (1-q+q^2-q^3+q^4 + \cdots +(-1)^n q^n + \cdots)\\
&= \frac{q^2}{1+q}\; ,
\end{split}
\]
etc... Per ricorrenza, la somma della $k$-esima riga sarà \(\frac{(-1)^{k-1}q^{k-1}}{1+q}\).
Per ottenere la tua somma, ora, devi sommare tutte le somme fatte sulle righe: in tal modo ottieni:
\[
\begin{split}
1-2q+3q^2 -4q^3 +\cdots +(-1)^n(n+1) q^n +\cdots &= \frac{1}{1+q} + \frac{-q}{1+q} + \frac{q^2}{1+q} + \frac{-q^3}{1+q} +\cdots + \frac{(-1)^k q^k}{1+q}+\cdots \\
&= \frac{1}{1+q}\ \left( 1-q+q^2-q^3+\cdots + (-1)^k q^k+\cdots \right)\\
&= \frac{1}{(1+q)^2}\; .
\end{split}
\]
Ovviamente, il tutto andrebbe giustificato; ma ciò è molto semplice, poiché la serie assegnata è assolutamente convergente per $|q|<1$ e, dunque, i suoi addendi si possono permutare in qualsiasi modo senza alterarne la somma (questa è la cosiddetta convergenza incondizionata[nota]Si dice che una serie convergente \(\sum a_n\) è incondizionatamente convergente se e solo se per ogni permutazione \(\sigma :\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) risulta:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma (n)} = \sum_{n=0}^\infty a_n\; ,
\]
cioè se la somma della serie non cambia per alcuna scelta dell'ordine degli addendi. Un notevolissimo teorema (di Riemann e Dini, se non ricordo male, ma potrei sbagliarmi) afferma che le serie numeriche incondizionatamente convergenti sono esattamente le serie assolutamente convergenti, cioè che vale il seguente fatto:
Sia \(\sum a_n\) una serie numerica.[/nota]).
Valgono i seguenti fatti:
[list=1][*:2h7luc5y] la serie \(\sum a_n\) è incondizionatamente convergente se e solo se essa è assolutamente convergente;
[/*:m:2h7luc5y]
[*:2h7luc5y] se la serie \(\sum a_n\) è convergente ma non è assolutamente convergente, allora comunque si scelga un \(s\in \widehat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\) è possibile determinare una permutazione \(\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) tale che:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma (n)} =s\; .
\][/*:m:2h7luc5y][/list:o:2h7luc5y]
vedo solo adesso, me lo guarderò, devo riprendere il filo
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