Trovare il dominio di questa funzione

[francesfarmer]

Mi spiegate come si trova il dominio di questa funzione?
$f(x)={(2arctan(x),se [-1,1)),(root(3)(x+1)+ax, se x in [1,+infty]):}$ $a in R$

Mi chiede
1. Trovare, se esistono, i valori di $a$ per cui $f$ è continua nel suo dominio.
2. Trovare, se esistono, i valori di $a$ per cui $f$ è derivabile nel suo dominio.

Per trovare il dominio completo della funzione devo in qualche modo "unire" i due domini che sono scritti sopra (ditemi se dico delle cavolate).

Quindi se so che $arctan$ è sempre definito in $R$ perché c'è scritto che $2arctan(x)$ è definito in $[-1,1)$?
Poi $root(3)(x+1)+ax$, so che anche la radice dispari è definita in tutto $R$ quindi perché mi dice che $x in [1,+infty]$?

Qual è il dominio intero e come si trova?

Poi un'altra domanda, quando mi chiede di trovare i valori di $a$ devo fare una cosa del genere?
$a=(-root(3)(x+1))/x$
Giusto?
Vi prego aiutatemi!!!
Ho anche altre domande ma le scriverò in un altro post perché sono altri argomenti.

[axpgn]

Ecco i danni che fa insegnare le cose al contrario ...

Scherzo ma non troppo ... il dominio di una funzione non si dovrebbe mai cercare perché una funzione esiste solo se vengono forniti dominio, codominio e la legge che li collega; quindi quando si chiede di determinare il dominio di una funzione in realtà si cercano le condizioni di esistenza e cioè il "più grande" tra i possibili domini in cui la funzione è definita.
In questo caso il dominio ti viene dato (come sempre dovrebbe essere) perciò non c'è problema ... (per scrupolo, è meglio se controlli se in quegli intervalli la funzione è definita ... )

Cordialmente, Alex

[francesfarmer]

Quindi l'unica cosa che devo fare adesso è calcolare i limiti di x che tende a -1, 1 e infinito per vedere se la funzione è continua e derivabile in quei punti, giusto?

Posso chiederti anche un'altra cosa?
Quello che ho scritto in fondo ( quando mi chiede di trovare i valori di a devo fare una cosa del genere? $a=(-root(3)(x+1))/x$) è giusto?

[axpgn]

I limiti a $-1$ e $+infty$ non sono necessari: sono due funzioni continue nel loro insieme di definizione quindi lì non c'è problema; perciò devi solo verificare cosa succede in $1$.
Posta quello che hai fatto ...

Cordialmente, Alex

[francesfarmer]

Allora, io per trovare i valori di a per cui f è continua nel dominio ho fatto

$a=-root(3)(x+1)+ax$
Quindi $lim_(x->1) -root(3)(x+1)+ax = -root(3)(2)$
$-root(3)(2)$ è il valore di a per cui f è continua nel suo dominio.

Ora trovo i valori di a per cui f è derivabile nel dominio:
Trovo la derivata $a=(-x/(3sqrt(x+1))-(-root(3)(x+1)))/x^2 = (2x+3)/(3x^2sqrt(x+1))$
Il dominio della derivata è tutto $R$ quindi $(-infty,+infty)$
Calcolo i limiti
$lim_(x->-infty)(2x+3)/(3x^2sqrt(x+1)) = infty/infty = $ So che a questo punto dovrei usare l'hopital ma la derivata mi viene $2/(3x*1/(sqrt(x+1)))$ ma onestamente non saprei come risolverlo, mi viene una cosa del genere -> $2/(-infty*0)$ e direi che è sbagliato.
Comunque fino a questo punto ho sbagliato qualcos'altro?

[francesfarmer]

Vi prego rispondete

[axpgn]

Non ho capito bene quello che hai scritto (problema mio), comunque come detto devi verificare la continuità solo nel punto $1$; per far ciò devi verificare che la funzione sia definita lì (e lo è), trovare quanto vale lì ($f(1)=a+root3(2)$); trovare il limite della funzione da destra e da sinistra quanto tende a quel punto e verificare che tali limiti siano uguali e uguali al valore che assume la funzione lì.
Da destra non c'è bisogno di fare niente in quanto sappiamo già che è continua quindi il limite esiste e vale anch'esso $a+root3(2)$ mentre da sinistra il limite esiste e vale $2pi/4=pi/2$.
Adesso dobbiamo verificare che siano uguali cioè $pi/2=a+root3(2)$ da cui $a=pi/2-root3(2)$ cioè se e solo se $a$ è uguale a quel valore allora i limiti sono uguali ed uguali al valore della funzione e di conseguenza la funzione è continua in tutto il suo dominio.

S.E.&O. ...

Cordialmente, Alex