Trovare funzione asintotica

[Liyus]

Qualcuno potrebbe aiutarmi a svolgere questo esercizio? Non riesco a capire dove sbaglio....

Per $x->0$ , la funzione

$log$$(1-\frac{x^2}{2})$ $-1 + sqrt(1 + sinh^2(x))$

è assintotica a:
$a) -\frac{x^4}{12}$ <--- il prof. mi ha detto che questo è il risultato.
$b) -\frac{x^4}{4}$
$c) -\frac{x^4}{8}$
$d) -\frac{x^2}{2}$

io ho provato a farla cosi:
dato che per limiti notevoli
$log(1-f(x))$ per $f(x) -> 0$ è asintotica ad $f(x)$

$log(1-\frac{x^2}{2})$ è asintotica ad $-\frac{x^2}{2}$

$sqrt(1 + f(x)) -1$ per $f(x) -> 0$ è asintotica ad $\frac{f(x)}{2}$

$sqrt(1 + sinh^2(x))$ è asintotica ad $\frac{sinh^2(x)}{2}$

$sinh(x) = \frac{e^x - e^-x}{2} = \frac{e^(2x) - 1}{2e^x}$

$e^f(x) - 1$ per $f(x) -> 0$ è asintotica ad $f(x)$

$\frac{e^(2x) - 1}{2e^x}$ è asintotica ad $\frac{2x}{2e^x} = \frac{x}{e^x}$

fino a qui è corretto? se si, come devo proseguire,ho provato a fare quadrato poi a provare ad fare un'altro asisntotico per eliminare $e^x$, però il risultato non mi esce...
la parte con il seno iperbolico non riesco proprio a svolgerla TT_TT

[Berationalgetreal]

Basta usare Taylor:

\[ \sqrt{1 + \sinh^2 (x) } = \cosh (x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \text{o} \left (x^6 \right ) \]
\[ \ln \left ( 1 - \frac{x^2}{2} \right) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + \text{o} \left ( x^6 \right ) \]

Dunque:

\[ \begin{aligned} \ln \left ( 1 - \frac{x^2}{2} \right) - 1 + \sqrt{1 + \sinh^2 (x) } &= -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + \text{o} \left ( x^6 \right ) - 1 + 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \text{o} \left (x^6 \right ) \\ &= -\frac{x^4}{12} + \text{o} \left ( x^6 \right ) \underset{ x \to 0}{\sim} -\frac{x^4}{12} \end{aligned} \]

[Liyus]

O.O
mi sono dimenticato che si poteva anche usare Taylor....
grazie per l'aiuto...