Trovare eventuali estremi di funz
la funzione che considero è $ |y|/(x^2+y^2)$
facendo le derivate parziali non trovo nessun punto che soddisfa entrambe, poi ho pensato di fare il limite che tende a (0,0) della funzione nei due casi (y>0 e y<0) e mi viene infinito, ho fatto bene?
facendo le derivate parziali non trovo nessun punto che soddisfa entrambe, poi ho pensato di fare il limite che tende a (0,0) della funzione nei due casi (y>0 e y<0) e mi viene infinito, ho fatto bene?
Risposte
"Bandit":
la funzione che considero è $ |y|/(x^2+y^2)$
facendo le derivate parziali non trovo nessun punto che soddisfa entrambe, poi ho pensato di fare il limite che tende a (0,0) della funzione nei due casi (y>0 e y<0) e mi viene infinito, ho fatto bene?
No che non hai fatto bene! Per almeno due ragioni:
1) Osserviamo che i) $f$ è definita e continua in $\Omega := \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$; ii) $f(x,y) \ge 0$, per ogni $(x,y) \in \Omega$; iii) $f(x,0) = 0$, per ogni $x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$. Questo significa che ogni punto del tipo $(x,0)$, con $x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, è un p.to di minimo relativo per la funzione.
2) Non è assolutamente vero che $\lim_{(x,y) \in (0,0)} f(x,y) = +\infty$. Infatti $\lim_{x \to 0} f(x,0) = 0$, mentre $\lim_{x \to 0} f(x,x) = 1/2 * \lim_{x \to 0} 1/|x| = +\infty$. Dunque, casomai, il limite indicato NON esiste...
Aggiungo: il fatto è che - limitiamoci alle funzioni a valori reali definite da qualche parte in $\mathbb{R}^n$ - il metodo basato sullo studio del gradiente e del segno del determinante hessiano è efficace (si fa per dire...) fintanto che ci si muove entro un aperto. E infatti, Bandit, tu hai dimostrato che entro i semipiani $S^+ := \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: y > 0\}$ ed $S^- := \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: y < 0\}$ la funzione $f: \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} \mapsto \mathbb{R}: (x,y) \mapsto |y|/(x^2+y^2)$ non possiede punti stazionari. Restano tuttavia da considerare i punti della retta $y = 0$ distinti dall'origine, ja! Quant'è vero che oggi sto chiacchierando un po' troppo...
"HiTLeuLeR":[/quote]
[quote="Bandit"] iii) $f(x,0) = 0$, per ogni $x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$. Questo significa che ogni punto del tipo $(x,0)$, con $x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, è un p.to di minimo relativo per la funzione.
ciao, questa iii) da quale raginamento esce fuori?
cioè come vengo a considerare y=0?
Boh, cosa debbo risponderti? Un suggerimento dello Spirito Santo, immagino... Il fatto è che la funzione "cambia faccia" proprio nel transitare da un semipiano all'altro (vedi post precedente), per cui mi pare naturale interrogarsi sul suo comportamento in corrispondenza dei punti del tipo (x,0), no?!
no seriamente, perchè poni y=0, come ti è venuto?
mica è arbitrario il fatto.
p.s. se hai msn forse si può capire meglio
mica è arbitrario il fatto.
p.s. se hai msn forse si può capire meglio
forse perchè è l'unico caso rimasto: <,> ed =
giusto?
giusto?
Sì, diciamo pure di sì.
no perchè diciamo pure di si? O è si o è no
no, non troppo. Soprattutto se penso che la funz non è definita in (0,0)
"HiTLeuLeR":
Boh, cosa debbo risponderti? Un suggerimento dello Spirito Santo, immagino... Il fatto è che la funzione "cambia faccia" proprio nel transitare da un semipiano all'altro (vedi post precedente), per cui mi pare naturale interrogarsi sul suo comportamento in corrispondenza dei punti del tipo (x,0), no?!
no, non troppo. Soprattutto se penso che la funz non è definita in (0,0)
Eppure credevo di essere stato sufficientemente prodigo di dettagli, in questo senso... Ovviamente mi riferivo ai soli punti di tipo (x,0) che appartengono al dominio massimale della funzione, che - come già è stato scritto! - si identifica nell'insieme $\Omega := \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$.
Perché, perché, perché! Sempre a chiedere perché...
"Bandit":
no perchè diciamo pure di si? O è si o è no
Perché, perché, perché! Sempre a chiedere perché...
cosa è il dominio massimale?
Il dominio massimale? In parole povere, il più grande insieme in cui l'espressione della tua simpatica funzione non perde di significato matematico. Certo che, se soltanto si riuscisse a far capire alla gente che una funzione NON è una "legge che associa a elementi di questo elementi di quello, con qualche spicciola proprietà al contorno", ma bensì (adoro gli anacoluti, quindi nessuno osi pensare di correggermi!) un particolare insieme, beh... allora tutto diventerebbe tremendamente più facile, m'immagino.
quindi il ragionamento dei tre casi è accettabile?<>=?
Ja! Ma non è detto che, in altre circostanze, si possa riapplicare...
un esempio chiarificatore me lo puoi dare?
grazie
grazie
Oddio, chiarificatore... Posso darti un esempio, questo sì! Dunque, fammici pensare...Prendi la funzione $f: \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} \mapsto \mathbb{R}: (x,y) \mapsto (|x|+|y|)/(x^2+y^2)$. La domanda è sempre la stessa: calcolarne gli eventuali punti di massimo e minimo relativo. Capisci bene che qui non è così immediato come prima arrivare alle dovute conclusioni... Non dico sia difficile, ma non è neppure banale!
proprio bella l'hai presa
Eh, lo so: ci ho buon gusto! 
e vabbè consideri prima tutti >, poi <, e poi alternati?
Sì, è un modo! Molto meglio però è osservare che $f(x,y) = f(-x,y) = f(x,-y)$, per ogni $(x,y) \ne (0,0)$, e quindi dedurre che lo studio può limitarsi, per simmetria, a tutti e soli i punti di tipo $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tali che $x, y \ge 0$ e $x^2 + y^2 \ne 0$. Così può dirsi $f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2)$, e adesso son soltanto conti e altre menate... Applicare pedissequamente il metodo di prima avrebbe comportato unicamente un sacco di lavoro inutile in più!
ecco
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo