Trovare estremi di una funzione a due variabli
Ciao a tutti. 
Data la funzione \(\displaystyle z=x^3+y^3-3xy\) ,trovare gli estremi determinandone il tipo.
Allora , facendo le derivate prime parziali, ottengo:
\(\displaystyle z_x = 3x-3y\\z_y = 3y-3x\)
Mettendo a sistema le due derivate e ponendole uguale a zero,per vedere quando entrambe si annullano , ottengo:
$ { ( 3x−3y=0 ),( 3y−3x=0 ):}
{ ( x=y ),( 0=0 ):} $
quindi le derivate si annullano quando x=y (correggetemi se sbaglio) , cioè in (x,y)=(1,1),(2,2),(3,3),... . Ma visualizzando il grafico in 3D non riesco a "vedere" graficamente tutti questi estremi. Inoltre, il determinante dell'hessiano viene nullo, quindi dovrei studiare l'intorno dell'estremo trovato. Ma qual'è l'estremo trovato?
Data la funzione \(\displaystyle z=x^3+y^3-3xy\) ,trovare gli estremi determinandone il tipo.
Allora , facendo le derivate prime parziali, ottengo:
\(\displaystyle z_x = 3x-3y\\z_y = 3y-3x\)
Mettendo a sistema le due derivate e ponendole uguale a zero,per vedere quando entrambe si annullano , ottengo:
$ { ( 3x−3y=0 ),( 3y−3x=0 ):}
{ ( x=y ),( 0=0 ):} $
quindi le derivate si annullano quando x=y (correggetemi se sbaglio) , cioè in (x,y)=(1,1),(2,2),(3,3),... . Ma visualizzando il grafico in 3D non riesco a "vedere" graficamente tutti questi estremi. Inoltre, il determinante dell'hessiano viene nullo, quindi dovrei studiare l'intorno dell'estremo trovato. Ma qual'è l'estremo trovato?
Risposte
EDIT (ringrazio s.stuv che involontariamente m'ha aiutato).
Non avevo visto che erano sbagliate le derivate parziali: infatti in genere gli errori di calcolo li faccio, difficilmente li correggo
.
Non avevo visto che erano sbagliate le derivate parziali: infatti in genere gli errori di calcolo li faccio, difficilmente li correggo
.
[xdom="giammaria"]Sposto in Analisi[/xdom]
Controlla il calcolo delle derivate parziali.
"s.stuv":
Controlla il calcolo delle derivate parziali.
avevo sbagliato a riportare una derivata nel sistema, ma il risultato é esatto.
Direi di no...
\[
\begin{split}
z_x = 3x^2 - 3y \\
z_y = 3y^2 - 3x.
\end{split}
\]
Quindi i punti critici sono solo tre...
\[
\begin{split}
z_x = 3x^2 - 3y \\
z_y = 3y^2 - 3x.
\end{split}
\]
Quindi i punti critici sono solo tre...
Giá ... grazie e scusami 
ma il problema si pone ad esempio nel caso di
\(z=x^2+y^2\)
con il vincolo
\(x^2+y^2<=10\)
Risolvendo , si arriva alla conclusione che gli estremi si trovano nel luogo geometrico rappresentato dal vincolo. Come faccio in questo caso a determinare il tipo di estremo , eccetto il minimo in (0, 0, 0)?
ma il problema si pone ad esempio nel caso di \(z=x^2+y^2\)
con il vincolo
\(x^2+y^2<=10\)
Risolvendo , si arriva alla conclusione che gli estremi si trovano nel luogo geometrico rappresentato dal vincolo. Come faccio in questo caso a determinare il tipo di estremo , eccetto il minimo in (0, 0, 0)?
Ciao, riesci a immaginarti la forma del grafico della tua funzione?
Si, un paraboloide con altezza sempre maggiore , all'aumentare del raggio della circonferenza.
Osserva che il gradiente della funzione che hai proposto si annulla soltanto nell'origine, in corrispondenza del punto di minimo assoluto. La condizione di annullamento del gradiente è una condizione che si presenta necessariamente in corrispondenza di punti estremali interni al dominio considerato, ma in generale non in corrispondenza di quei punti estremali che si trovano sulla frontiera del dominio. Nel caso specifico, tutti i punti \( (x,y) \) tali che \( x^2 + y^2 = 10 \) sono punti che realizzano il massimo assoluto della funzione.
Ero arrivato alla stessa conclusione. Quindi posso dire che il luogo geometrico descritto dall'equazione \(x^2+y^2=10\) rappresenta punti di massimo vincolati di f(x,y)?
Certo, rispetto a quel vincolo sì.
Va bene,grazie 
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