Trovare esempi di funzione

[gianma93]

Nell'esame scorso mi sono trovato davanti a questo esercizio teorico,solo non trovavo il modo di superarlo non sapendo che metodo usare.Ho provato a cercare funzioni simili e poi eseguire i limiti ecc...Non c'è un procedimento tale per venirne a capo? O devo impararmi delle funzioni a mente??? . Il testo diceva:
Trova un esempio
(i) di una funzione definita su tutto R e discontinua in Xo = −5;
(ii) di una funzione f : R → R, crescente, con f(0) = 1 e lim x→+∞f(x) = 2;
(iii) di una funzione definita su tutto R, periodica di periodo 2, e avente come insieme immagine l’intervallo [0,3].
Grazie per l'interesse

[Camillo]

Per il punto 1 , crea la funzione ad es. una retta che abbia un salto in $x_0=-5 $
$y=x+3 $ per $x< -5 $
$y= x+7 $ per $x>=-5 $
sono due semirette parallele che in $x_0=-5 $ hanno un salto e quindi una discontinuità.
Naturalemnte la funzione così definita è una sola ma necessita di una rappresentazione analitica differente a seconda che si riferisca all'intervallo $x<-5 $ oppur $x > -5$.

[ostrogoto1]

Per il punto 2 propongo:
$ y(x)= (2/pi)arctan(x)+1 $

Per il punto 3 prova a pensare a una funzione tipo
$ y(x)= sin(x) $
opportunamente modificata...

[SaraSueEss]

Per il punto 1, invece di definirla a tratti, potresti semplicemente: $x/(x+5)$

[Camillo]

"SaraSue":Per il punto 1, invece di definirla a tratti, potresti semplicemente: $x/(x+5)$

Non è però definita su tutto $RR$ ...

[SaraSueEss]

Se la vuoi definire a tratti la funzione caratteristica mi sembra molto più bella
$A = [-5,infty)$
$f(x)= 1(A)(x)$

[Camillo]

Non so se gianma93 sappia cos'è la funzione caratteristica...

[gianma93]

Lasciamo da parte la funzione caratteristica,grazie delle risposte solo volevo capire se c'era un modo veloce per risolverlo senza perdere molto tempo,perchè all'esame questo esercizio mi ha portato via molto tempo e mi pare di aver sbagliato l'ultimo punto in particolare

[gianma93]

Vi propongo quest'altro quesito sempre sulla falsa riga del precedente:
Trovare un esempio
(a) di una funzione definita su tutto R avente come insieme immagine l'inter-
vallo ]0; 2[;
(b) di una funzione avente come asintoto verticale la retta x = 3, e come
asintoto orizzontale a +1 la retta y = 2;
(c) di una funzione definita su tutto R, periodica di periodo 6, e avente massimo
uguale a 2.

[axpgn]

a)$(2arctan(x))/pi+1$

c)$sin((pix)/3)+1$

la b) non l'ho capita ma potrebbe essere $1/(x-3)+2$ ?

[gianma93]

di una funzione avente come asintoto verticale la retta x = 3, e come
asintoto orizzontale a +inf. la retta y = 2;

[SaraSueEss]

$(2x)/(x-3)$

[Camillo]

Come si è arrivati alla soluzione proposta dell'esercizio a) , cioè a $y = 2/(pi)*arctg x+1 $ ?
Ecco qualche considerazione spero utile per gianma
La funzione $y = arctg x $ è definita su tutto $RR$, sempre crescente e si ha :
$lim_(x rarr-oo )y=-pi/2 ; lim_(x rarr +oo) y= pi/2$, pertanto la funzione ha come insieme immagine $ I= ]-pi/2;pi/2[$ .
E' però richiesto che sia $I= ]0;2[ $.
Se modifico in $y=2*arctg x $ allora $I=]-pi;pi[$.Con $y = 2/(pi)arctgx $ si ha $I= ]-1;1[ $.
Ma è richiesto che sia $I=]0;2[ $ .
A questo punto basta una traslazione sull'asse $y $ di valore $1 $ ed ottenere infine $y=2/(pi)arctgx +1 $.

[gianma93]

Senza nulla togliere agli altri ma è proprio questo che cercavo Camillo,la spiegazione...grazie davvero se gli altri utente che hanno risposto in precedenza mi spiegassero il procedimento sarei veramente soddisfatto,grazie ancora