Trovare e studiare i punti stazionari della funzione 2

[Cadetto Entusiasta]

Dopo l'esercizio di ieri risolto (e ringrazio ancora per l'aiuto), oggi mi sono ritrovato davanti a questo esercizio:
$f(x,y)=(x^2+y^2)/(4+x^2)+1/2y$
Ho calcolato il gradiente che mi viene $\gradf(x,y)=((2xy^2+8x)/(4+x^2)^2 ; (2y)/(4+x^2)+1/2)$ (il termine di y si potrebbe anche mettere tutto sotto lo stesso denominatore). Ma se io poi metto a sistema queste due equazioni per trovare i punti stazionari, a me risulta che vengano impossibili, trovando dalla prima equazione $y=+-sqrt(-4)$ che impossibile e dalla seconda trovo la x che mi viene $x=+-sqrt(-4y-4)$. Naturalmente sto sbagliando qualche cosa, ma non so bene cosa di preciso. Dalla soluzione so che dovrei trovare 3 punti stazioni, uno di minimo e due di sella.
Mi potreste spiegare in cosa sbaglio?

[Marco512]

Hai sbagliato un segno nel calcolo della derivata parziale rispetto la x.

Annullando il gradiente trovi i punti stazionari, in $RR$, (0,-1), (2,-2), (-2,-2) che sono rispettivamene minimo, sella, sella, che li trovi studiando l'hessiano

[Cadetto Entusiasta]

E' giusto, non so il perchè ma nelle due volte che l'ho provato a fare ho sempre sbagliato la derivata. Giustamente, ho rifatto il sistema, dalla prima equazione trovo i punti $y=+-2$, sostituisco alla seconda $y=2$ e me la rende impossibile, dato $x=+-sqrt(-8)$; allora le sostituisco $y=-2$ e mi viene $x=+-2$. Quindi a sto punto avrei trovato i punti $(+2,-2),(-2,-2)$ ma non riesco a capire come mi possa venire il punto $(0,-1)$. In realtà penso derivi dalla seconda equazione ponendo $x=0$ e quindi viene $y=-1$, ma l'imposizione del $x=0$ non so da dove arrivi.....

[Aliseo1]

Allora, quanto ha detto Marco512 è giusto, c'è un errore di segno nella derivata rispetto a $x$. Le riporto solo per una questione di visione globale

$ f_x(x,y)=(8x-2xy^2)/(4+x^2)^2 $

$ f_y(x,y)=(2y)/(4+x^2)+1/2 $

Ora quando le poni a zero, ottieni il sistema, che dopo alcune semplificazioni risulta essere

$ { (4x-xy^2=0), ((x^2+4y+4)/(4+x^2)^2=0) :} $, cioè $ { (x(4-y^2)=0), (x^2+4y+4=0) :} $. Bene, quando hai un sistema di questo tipo devi considerare tutti i casi, cioè

$ { (x=0), (x^2+4y+4=0) :} $, $ {(4+y^2=0), (x^2+4y+4=0) :} $, da cui hai i vari casi ok?

[Cadetto Entusiasta]

Ah, ecco da dove arriva l'$x=0$. Io non la consideravo dato che avevo $-2xy^2+8x=0$ mi ricavavo la $y$ => $-2xy^2=-8x$ => $y^2=8x/2x$ , semplificavo $y^2=4$ e poi così avevo $y=+-2$ e basta. Quindi è sbagliato il mio ragionamento, però non capisco la ragione per cui si deve raccogliere la $x$ se intanto poi va vai tranquillamente...

[Aliseo1]

beh ti viene naturale mettere in evidenza, quando è possibile no?

anche perché, poi, a prima vista la prima equazione del sistema si annulla o per qualche valore di $x$ o per qualche valore di $y$

[Cadetto Entusiasta]

Ok va bene, cercherò di mettere in evidenza quando posso. Grazie a te e a Marco512. Alla prossima

[Aliseo1]

prego!