Trovare coefficienti di Fourier
Sia $f in L^1_(2pi)$ e sia $P(x)=\sum_(n<=N) c_n e^(i*n*x)$. Trovare i coefficienti di Fourier di $fP$.
Anzitutto è giusto dire che i coefficienti di F. di $P$ sono $c_n$ se $n<=N$ e $0$ altrimenti?
Ho provato a trovarli con la definizione:
$\hat{(fP)}(n)=1/(2pi)\int_0^(2pi)f(x)P(x)e^(-i*n*x)dx$ ma non riesco a metterli in evidenza, o meglio: arrivo a dire che
$\hat{(fP)}(n)=\sum_(n<=N)c_n\hat{f}(k-n)$ ma non mi mi convince...
Anzitutto è giusto dire che i coefficienti di F. di $P$ sono $c_n$ se $n<=N$ e $0$ altrimenti?
Ho provato a trovarli con la definizione:
$\hat{(fP)}(n)=1/(2pi)\int_0^(2pi)f(x)P(x)e^(-i*n*x)dx$ ma non riesco a metterli in evidenza, o meglio: arrivo a dire che
$\hat{(fP)}(n)=\sum_(n<=N)c_n\hat{f}(k-n)$ ma non mi mi convince...
Risposte
Direi che c'è la sostanza ma non la forma...
Tu hai scritto che il risultato $\hat((fP))(n)$ è una sommatoria con indice $n$.... e ti ritrovi con un $k$ spuntato fuori dal nulla.
Il risultato dovrebbe essere $\hat((fP))(n) = \sum_{k <= N} c_k \hat{f}(n -k)$ che, considerando $p_n = c_n$ se $n <= N$ altrimenti $p_n = 0$, è $\hat((fP))(n) = \sum_{k} p_k \hat{f}(n -k)$ che è la convoluzione tra i coefficienti delle serie di Fourier di $f$ e $P$.
Tu hai scritto che il risultato $\hat((fP))(n)$ è una sommatoria con indice $n$.... e ti ritrovi con un $k$ spuntato fuori dal nulla.
Il risultato dovrebbe essere $\hat((fP))(n) = \sum_{k <= N} c_k \hat{f}(n -k)$ che, considerando $p_n = c_n$ se $n <= N$ altrimenti $p_n = 0$, è $\hat((fP))(n) = \sum_{k} p_k \hat{f}(n -k)$ che è la convoluzione tra i coefficienti delle serie di Fourier di $f$ e $P$.
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