Trova l'errore eq. complessa. Soluzione per me dubbia

[21zuclo]

l'equazione è la seguente \(\displaystyle z^4(\sqrt[]{3}+\imath)^2=1+2z\bar{z} \)

Controllate per favore se è giusta la mia risoluzione. Non ho la soluzione non so se è giusta.

\(\displaystyle z\bar{z}=|z|^2 \) quindi \(\displaystyle z^4(\sqrt[]{3}+\imath)^2=1+2|z|^2 \)

\(\displaystyle \rho^4e^{\imath(4\theta)}2e^{\imath(\frac{\pi}{6})}=1+2\rho \)

\(\displaystyle 2\rho^4e^{\imath(4\theta+\frac{\pi}{6})}=1+2\rho \)

eguaglio i moduli \(\displaystyle 2\rho^4-2\rho-1= 0\) e poi va bé basta risolvere l'equazione!
eguaglio gli argomenti
\(\displaystyle 4\theta+\frac{\pi}{6}=2k\pi \) ossia \(\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2} \) con \(\displaystyle k=0,1,2,3 \)

È corretta questa risoluzione? Sì mancano da calcolare gli angoli, ma questa risoluzione fino a qui è corretta? mi pare strano un angolo \(\displaystyle -\frac{\pi}{24} \)

[Sk_Anonymous]

\(\displaystyle \rho^4e^{\imath(4\theta)}4e^{\imath(\frac{\pi}{3})}=1+2\rho^2\)

[21zuclo]

grazie 1000.. ma non riesco a capire la correzione, cioè xkè invece di \(\displaystyle 2e^{\imath(\frac{\pi}{6})} \) hai scritto \(\displaystyle 4e^{\imath(\frac{\pi}{6})} \)?

se scrivo questo \(\displaystyle (\sqrt{3}+\imath)^2 \) in forma trigonometrica è \(\displaystyle \rho = 2\) \(\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \) \(\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{2} \) che questo è \(\displaystyle \theta= \frac{\pi}{6}\)

vorrei capire!

[21zuclo]

****! credo di aver capito invece!.. è la potenza di 1 numero complesso!.. cavoli.. eh scusate dopo ke ho fatto 10 esercizi..sono 1 po' fuori!.. scusate!

[Sk_Anonymous]

$[z=sqrt3+i=2(sqrt3/2+1/2i)=2e^(ipi/6]] rarr [z^2=4e^(ipi/3]]$

[21zuclo]

sì sì.. scusami.. sono 1 po' ke il mio cervello mi si è fuso!.. ho fatto oggi 10 esercizi..questo era l'ultimo esercizio fatto..chiedo scusa!

per martedì 24/01 ho l'esame di analisi matematica 1 e oggi ho fatto 10 esercizi di ogni tipo.. dai numeri complessi alle serie ..dalle serie alle funzioni continue.. e poi sono ritornato sui numeri complessi!

[Sk_Anonymous]

Immaginavo fosse una distrazione. In ogni modo, in bocca al lupo!

[gugo82]

"21zuclo":l'equazione è la seguente \(\displaystyle z^4(\sqrt[]{3}+\imath)^2=1+2z\bar{z} \)

Si vede che ogni soluzione dell'equazione è non nulla.
Notato che \(z\bar{z}=|z|^2\) e che \(1+2|z|^2>0\), passando ai moduli m.a.m. si trova \(|z|^4 |\sqrt{3}+\imath|^2 =1+2|z|^2\), cioè:
\[
4|z|^4-2|z|^2-1=0\; ;
\]
tale equazione ha come unica soluzione positiva \(|z|^2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\), quindi ogni soluzione complessa dell'equazione (se esiste) ha necessariamente modulo:
\[
|z|=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=:\alpha \; .
\]
Allora possiamo cercare le nostre soluzioni nella forma \(z=\alpha\ e^{\imath \theta}\) con ; sostituendo nell'equazione troviamo:
\[
\alpha^4 (\sqrt{3}+\imath)^2 e^{\imath 4\theta}=1+2\alpha^2
\]
(perché \(\overline{e^{\imath \theta}}=e^{-\imath \theta}\)), quindi:
\[
4\alpha^4 e^{\imath (\pi/3+4\theta)} =1+2\alpha^2\; ;
\]
l'ultima equazione dice che il numero complesso sulla sinistra è reale e positivo (perché tale è il membro destro dell'equazione), ergo l'argomento deve essere congruo a zero modulo \(2\pi\), i.e. \(4\theta +\frac{\pi}{3} =2k\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\) e dunque:
\[
\theta = -\frac{\pi}{12}+ k\frac{\pi}{2} \; .
\]
Mettendo insieme le cose, le soluzioni dell'equazione sono tutti e soli i numeri comeplessi del tipo:
\[
z=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\ e^{\imath\ (-\pi/12 +k\pi/2)} \qquad \text{con } k\in \mathbb{Z}\; .
\]
Ovviamente, data la periodicità dell'esponenziale complesso, le soluzioni distinte sono solo quattro e si ottengono facendo variare \(k\) in un insieme di quattro elementi consecutivi, e.g. \(k=0,1,2,3\).