Trova l'area
$D= {(x,y) \in R: x^2 + y^2 <= 4/3\ ; x >=1}$
$\int dx dy = \int \rho^3 \cos \theta\ \sin \theta d\rho d \theta$ e le condizioni sono che $0<=\rho<= 2\ (\sqrt{3})$ e $\rho \cos \theta >= 1$ oltre alle condizioni a priori come posso fare?
$\int dx dy = \int \rho^3 \cos \theta\ \sin \theta d\rho d \theta$ e le condizioni sono che $0<=\rho<= 2\ (\sqrt{3})$ e $\rho \cos \theta >= 1$ oltre alle condizioni a priori come posso fare?
Risposte
Ma quello è un pezzo di ellisse, no?
Sicuro che ti convenga abbandonare le coordinate cartesiane??
Sicuro che ti convenga abbandonare le coordinate cartesiane??
Puoi fare in diversi modi, come ti ha già detto Raptorista è forse più comodo restare in cartesiane: $D$ è simmetrico rispetto all'asse x, quindi ti basta calcolare mezzo integrale per $1≤x≤2/(sqrt(3))$ e per y che va da 0 alla semicirconferenza.
Oppure (sempre per mezzo integrale) puoi prendere l'area dell'intero quarto di cerchio (cioè per $0≤x≤2/(sqrt(3))$) e sottrarre l'area della fettina che sta in $0≤x≤1$, di cui un pezzo (sopra) lo puoi ricavare in polari e l'altro pezzo è un triangolo rettangolo con altezza $y(1) = 1/sqrt(3)$ (metodo del macellaio
)
Se resti in polari, ti serve conoscere fra quali angoli far variare $theta$...
Oppure (sempre per mezzo integrale) puoi prendere l'area dell'intero quarto di cerchio (cioè per $0≤x≤2/(sqrt(3))$) e sottrarre l'area della fettina che sta in $0≤x≤1$, di cui un pezzo (sopra) lo puoi ricavare in polari e l'altro pezzo è un triangolo rettangolo con altezza $y(1) = 1/sqrt(3)$ (metodo del macellaio
)Se resti in polari, ti serve conoscere fra quali angoli far variare $theta$...
A parte che comunque si può fare con della geometria sintetica, senza scomodare gli integrali 
capito ragazzi ma il mio prof nelle soluzioni di un compito usa queste coordinate e non capisco come trova gli estremi di integrazione, potreste aiutarmi?
Sempre allo stesso modo! Fai un disegno abbastanza chiaro ed usa la geometria
Hai già fatto qualche esercizio simile o sei digiuno digiuno??
Hai già fatto qualche esercizio simile o sei digiuno digiuno??
"Raptorista":
Sempre allo stesso modo! Fai un disegno abbastanza chiaro ed usa la geometria
Hai già fatto qualche esercizio simile o sei digiuno digiuno??
Senza disegno, io quelle condizioni le ho trovate, ora però di particolare c'è che queste condizioni sono collegate e non riesco ad uscirne!
Scusa, smaug, ma scrivi qualche conto!
Finché ti esprimi due righe per volta, è difficile capire dov'è la difficoltà!
Finché ti esprimi due righe per volta, è difficile capire dov'è la difficoltà!
Per esempio col le coordinate polari posso sicuramente dire che $0<=\rho<= 2 / (\sqrt{3})$ e $\rho\ \cos \theta >= 1$
Quindi $0<=\rho<= 2 / (\sqrt{3})$ e $\rho\ >= 1 / (\cos \theta )$ e non so come ora come fare, ecco dove incontro la difficoltà io buttandomi direi che
$1 / (\cos \theta ) <= \rho <= 2 / (\sqrt{3})$ giusto? e l'angolo?
Quindi $0<=\rho<= 2 / (\sqrt{3})$ e $\rho\ >= 1 / (\cos \theta )$ e non so come ora come fare, ecco dove incontro la difficoltà io buttandomi direi che
$1 / (\cos \theta ) <= \rho <= 2 / (\sqrt{3})$ giusto? e l'angolo?
Veramente questi numeri non mi convincono più di tanto...
L'insieme \(D\) è l'interno della circonferenza \(B_{\frac 4 3} (0)\) intersecato col semipiano \(x \ge 1\), e quindi è un segmento circolare.
[Se facessi il disegno vedresti che] il quadrato del raggio varia quindi tra \(\rho^2 = 1\) [punto più vicino] e \(\rho^2 = \frac 4 3\) [punto più lontano].
Detto ciò, ed avendo così implicitamente scelto di descrivere il dominio come \(\rho\)-semplice, devi fissare \(\rho= \rho_0\) e trovare l'intervallo in cui varia \(\theta_{\rho_0}\), quindi una cosa del tipo \(\theta_{min}(\rho_0) \le \theta_{\rho_0} \le \theta_{max}(\rho_0)\) per ogni \(\rho_0\) nel dominio di \(\rho\).
Claro?
L'insieme \(D\) è l'interno della circonferenza \(B_{\frac 4 3} (0)\) intersecato col semipiano \(x \ge 1\), e quindi è un segmento circolare.
[Se facessi il disegno vedresti che] il quadrato del raggio varia quindi tra \(\rho^2 = 1\) [punto più vicino] e \(\rho^2 = \frac 4 3\) [punto più lontano].
Detto ciò, ed avendo così implicitamente scelto di descrivere il dominio come \(\rho\)-semplice, devi fissare \(\rho= \rho_0\) e trovare l'intervallo in cui varia \(\theta_{\rho_0}\), quindi una cosa del tipo \(\theta_{min}(\rho_0) \le \theta_{\rho_0} \le \theta_{max}(\rho_0)\) per ogni \(\rho_0\) nel dominio di \(\rho\).
Claro?
non moltissimo perchè non abbiamo risolto mai gli integrali per via geometrica / grafica, il prof li vuole per via analitica...
Questa È la via analitica.
Se vuoi meno analiticità di così, scriviti a mano tutte le disequazioni.
Se vuoi meno analiticità di così, scriviti a mano tutte le disequazioni.
ora cerco di capirla bene! comunque grazie mille
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