Troppo difficile per me (eq differenziale)
1. Determinare esplicitamente la soluzione dell’equazione differenziale $y^{\prime} = ((y^2 + 1)(2x + 1))/(y)$ tale che $y(0) = 1$.
2. Sia $z(x) = y^2(x) + 1$. Calcolare $z(x)$ e verificare che soddisfa un’equazione
differenziale lineare del primo ordine. (NOTA: é possibile calcolare $y(x)$ al punto 1, e tramite ciò calcolare $z(x)$; oppure, si può prima passare al punto 2, trovare tramite la regola della derivata delle funzioni composte l’equazione differenziale
soddisfatta da $z$, risolverla, e tramite ciò calcolare $y(x)$.
3. Quali possono essere i punti di minimo di $y(x)$? (NOTA: non è necessario aver
risposto ai punti precedenti per rispondere a questa domanda, ma può bastare
tracciare il campo di direzioni)
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I punti 2 e 3 per me sono "quasi" arabo...
Il punto 1 forse lo so risolvere... Dico forse perché sono "il più principiante tra i principianti" con ste eq differenziali...
2. Sia $z(x) = y^2(x) + 1$. Calcolare $z(x)$ e verificare che soddisfa un’equazione
differenziale lineare del primo ordine. (NOTA: é possibile calcolare $y(x)$ al punto 1, e tramite ciò calcolare $z(x)$; oppure, si può prima passare al punto 2, trovare tramite la regola della derivata delle funzioni composte l’equazione differenziale
soddisfatta da $z$, risolverla, e tramite ciò calcolare $y(x)$.
3. Quali possono essere i punti di minimo di $y(x)$? (NOTA: non è necessario aver
risposto ai punti precedenti per rispondere a questa domanda, ma può bastare
tracciare il campo di direzioni)
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I punti 2 e 3 per me sono "quasi" arabo...
Il punto 1 forse lo so risolvere... Dico forse perché sono "il più principiante tra i principianti" con ste eq differenziali...
Risposte
Al punto 1. arrivo a:
$y=+-sqrt(c*e^(2x^(2))*e^(2x) - 1)$ Integr generale
$y(0)=1$ quindi $c=2$
$y=+-sqrt(2*e^(2x^(2))*e^(2x) - 1)$ Integr particolare
sono stitichello... Mi fermo qua. (se non è sbagliato, pure.. 
)
(mi son dimenticato di dirvi che non ho le soluzioni e, non sapendo come risolverlo, ho postato per codesto motivo...)
$y=+-sqrt(c*e^(2x^(2))*e^(2x) - 1)$ Integr generale
$y(0)=1$ quindi $c=2$
$y=+-sqrt(2*e^(2x^(2))*e^(2x) - 1)$ Integr particolare
sono stitichello... Mi fermo qua. (se non è sbagliato, pure.. )(mi son dimenticato di dirvi che non ho le soluzioni e, non sapendo come risolverlo, ho postato per codesto motivo...)
Dato che $y(0)=1$ devi prendere solo la soluzione con il $+$.
Si, grazie Tipper!
Diciamo che questo ti fa capire come son messo con le eq differenziali...
Ma per risolvere questo problema devo studiare il "problema di Cauchy" giusto?
Diciamo che questo ti fa capire come son messo con le eq differenziali...
Ma per risolvere questo problema devo studiare il "problema di Cauchy" giusto?
Eh sì...
Ma lo sto vedendo da oggi pome... Non mi sembra così difficile, solo che poi nei punti 2 e 3 non so che pesci piglià..
$z(x)=2e^{2x^2+2x}$
Tu sai che l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare del primo ordine:
$z'=\alpha(x)z+\beta(x)$ è:
$z(x)=e^{A(x)}[C+\int e^{-A(x)}\beta(x)dx]$, dove $A(x)$ è una primitiva di $\alpha(x)$, quindi...
Tu sai che l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare del primo ordine:
$z'=\alpha(x)z+\beta(x)$ è:
$z(x)=e^{A(x)}[C+\int e^{-A(x)}\beta(x)dx]$, dove $A(x)$ è una primitiva di $\alpha(x)$, quindi...
Penso di si. (Ma non ho alcuna soluzione che mi dia sicurezza...) Mi sono accorto che, oltre a prendere quelle dal valore positivo, dovrei calcolare il dominio. L'avevo dimenticato. Ma fin lì credi sia giusto?
Poi un po' so cosa sono i campi di direzione, ho imparato a interpretarli (grosso modo) ma non li ho mai tracciati.
Poi un po' so cosa sono i campi di direzione, ho imparato a interpretarli (grosso modo) ma non li ho mai tracciati.
I risultati al secondo post mi sembrano giusti, ma hai capito come scegliere $\alpha(x)$, $\beta(x)$ e $C$?
Ehm insomma. Io le eq del primo ordine le so risolvere su per giù. Forse non capisco la tua notazione matematica... Io son messo male...
Il primo ordine si fa così:
$y_0 + y_1 = y$
dove $y_0$ è una soluzione specifica trovata in un punto a caso. $y_1$ è quella generica che dipende da costanti arbitrarie...
alfa é: 2x+2?
Il primo ordine si fa così:
$y_0 + y_1 = y$
dove $y_0$ è una soluzione specifica trovata in un punto a caso. $y_1$ è quella generica che dipende da costanti arbitrarie...
alfa é: 2x+2?
Una soluzione puo' semplice del punto 2 puo' essere la seguente.
Derivando (implicitamente rispetto ad x e come suggerisce anche l'enunciato) la
$z=y^2+1$,si ha :
$z'=2yy'$ ovvero $z'=2y((y^2+1)(2x+1))/(y)$ e quindi:
$z'=2z(2x+1),z(0)=2$ che e' l'equazione richiesta.
karl
Derivando (implicitamente rispetto ad x e come suggerisce anche l'enunciato) la
$z=y^2+1$,si ha :
$z'=2yy'$ ovvero $z'=2y((y^2+1)(2x+1))/(y)$ e quindi:
$z'=2z(2x+1),z(0)=2$ che e' l'equazione richiesta.
karl
"Tipper":
$\mathbf{z(x)=2e^{2x^2+2x}}$
Tu sai che l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare del primo ordine:
$z'=\alpha(x)z+\beta(x)$ è:
$\mathbf{z(x)=e^{A(x)}[C+\int e^{-A(x)}\beta(x)dx]}$, dove $A(x)$ è una primitiva di $\alpha(x)$, quindi...
Quand'è che le due espressioni in grassetto sono uguali?
La parte risultante dall'integrale non ci deve essere, quindi $\beta(x)=0$, $C=2$, inoltre deve risultare $A(x)=2x^2+2x$, quindi $\alpha(x)$, che è la derivata di $A(x)$, risulta $\alpha(x)=4x+2$.
In sostanza, l'equazione differenziale si scrive come:
$z'=(4x+2)z$
$z(0)=2$
Grazie Tipper!
Grazie Karl!
Sto elaborando le informazioni...
Grazie Karl!
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